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Examen de Matemáticas II de Extremadura 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Extremadura, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Sea la igualdad matricial

M \cdot X = N

, donde

M = (\begin{array}{ccc} k & 2 k & 2 \\ - 1 & k & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array})

N = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})

.

a) ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz

X

? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

b) ¿Para qué valores de

k \in R

es la matriz

M

invertible? [1 punto]

c) ¿Puede ser

M \cdot N

invertible para algún valor de

k \in R

? [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Discuta y resuelva (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro

a \in R

\begin{array}{rcrcl} a x & + & y & = & 1 \\ x & + & a y & = & a \\ a x & + & 2 y & = & 1 \end{array}}

[2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Sean las rectas

r

s

dadas por

r : {\begin{cases} x = 1 + λ \\ y = 2 - 3 λ \\ z = 1 \end{cases}

s : {\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 4 \end{cases}

.

a) Obtenga un plano

Π

que contiene a la recta

r

y es paralelo a la recta

s

. [1 punto]

b) Calcule la distancia entre las dos rectas. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Geometría

Calcule un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores

\vec{u} = (1, 1, - 1)

\vec{v} = (2, 1, 0)

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Límites y continuidad

Sea la función

f (x) = {\begin{cases} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}} & si x \neq 0 \\ a & si x = 0 \end{cases}

, con

a \in R

.

a) Estudie la continuidad de la función

f (x)

para

x \neq 0

. [0,5 puntos]

b) Calcule el valor de

a

para que la función

f (x)

sea continua en

x = 0

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Sea la función

f (x) = \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - 4}

.

a) Estudie las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función

f (x)

. [1,5 puntos]

b) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de

f (x)

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Resuelva la integral

\int \ln^{2} (x) d x

. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Dadas las funciones

f (x) = 3 x - x^{2}

g (x) = x^{2} - 2 x

, calcule el área de la región limitada por sus gráficas. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

a) Calcule la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

La duración de un smartphone se ajusta a una normal de media 3 años y desviación típica de 1 año. El fabricante da una garantía de 3,5 años a sus smartphones.

a) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure menos que la garantía. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure más de 5 años. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10