Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2021

Calcule un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores $\vec{u}=(1,1,-1)$ y $\vec{v}=(2,1,0)$. [2 puntos]

El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a los dos, así que lo calculamos y después lo ajustamos al módulo pedido dividiéndolo entre el suyo y multiplicando por $3$.

$\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\mid =(0+1)\vec{i}-(0+2)\vec{j}+(1-2)\vec{k}=(1,-2,-1)$

$\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid =\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$

$\vec{w}=3\cdot {\displaystyle \frac{(1,-2,-1)}{\sqrt{6}}}=({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}},-{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{6}}},-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}})=({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}},-\sqrt{6},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}})$

Comprobamos que cumple las dos condiciones:

$\mid \vec{w}\mid =\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{4}}+6+{\displaystyle \frac{6}{4}}}=\sqrt{9}=3$

$\vec{w}\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}-\sqrt{6}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}=0\vec{w}\cdot \vec{v}=\sqrt{6}-\sqrt{6}+0=0$

Un vector de módulo $3$ perpendicular a los dos dados es $(\frac{\sqrt{6}}{2},-\sqrt{6},-\frac{\sqrt{6}}{2})$; su opuesto también sirve.