Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule la siguiente integral: ${\displaystyle \int x\sqrt{2x+3}dx}$. Puede utilizar el cambio de variable $t=\sqrt{2x+3}$.

b) [1,5 puntos] Sean los vectores $\vec{u}=(1,a,a)$ y $\vec{v}=(-1,0,2)$, con $a\in \mathbb{R}$. Determine el valor de $a$ para que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea de ${60}^{\circ }$.

Aplicamos el cambio de variable sugerido, que convierte la raíz en un polinomio.

$t=\sqrt{2x+3}\Rightarrow t^2=2x+3\Rightarrow x={\displaystyle \frac{t^2-3}{2}},dx=tdt$

$\int x\sqrt{2x+3}dx=\int {\displaystyle \frac{t^2-3}{2}}\cdot t\cdot tdt={\displaystyle \frac{1}{2}}\int (t^4-3t^2)dt$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{t^5}{5}}-t^3)+C={\displaystyle \frac{t^5}{10}}-{\displaystyle \frac{t^3}{2}}+C$

Deshacemos el cambio sustituyendo $t=\sqrt{2x+3}$ y sacamos factor común $t^3$:

${\displaystyle \frac{t^3}{10}}(t^2-5)+C={\displaystyle \frac{(2x+3)\sqrt{2x+3}}{10}}(2x+3-5)+C$

$\int x\sqrt{2x+3}dx={\displaystyle \frac{(x-1)(2x+3)\sqrt{2x+3}}{5}}+C$



Escribimos el coseno del ángulo mediante el producto escalar e imponemos que valga $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$.

$\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot (-1)+a\cdot 0+a\cdot 2=2a-1$

$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\sqrt{1+a^2+a^2}=\sqrt{1+2a^2},\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}$

$\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2a-1}{\sqrt{1+2a^2}\cdot \sqrt{5}}}$

$2(2a-1)=\sqrt{5}\cdot \sqrt{1+2a^2}\Rightarrow 4a-2=\sqrt{5+10a^2}$

El miembro de la derecha es positivo, así que la igualdad obliga a que $4a-2\ge 0$, es decir, $a\ge \frac{1}{2}$. Elevamos al cuadrado los dos miembros.

$(4a-2{)}^2=5+10a^2\Rightarrow 16a^2-16a+4=5+10a^2\Rightarrow 6a^2-16a-1=0$

$a={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{256+24}}{12}}={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{280}}{12}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{70}}{6}}$

Se descarta la raíz $a=\frac{8-\sqrt{70}}{6}\approx -\mathrm{0,0611}$ porque no cumple la condición $a\ge \frac{1}{2}$ impuesta al elevar al cuadrado.

El ángulo entre los dos vectores es de ${60}^{\circ }$ cuando $a={\displaystyle \frac{8+\sqrt{70}}{6}}\approx \mathrm{2,7278}$.