Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Navarra · 2024

Queremos construir un tetraedro de volumen $3u^3$, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x-y-2z-2=0$ con los ejes de coordenadas.

a) ¿A qué distancia de $\pi$ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? [1,5 puntos]

b) Encuentre dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. [1 punto]

Hallamos primero los tres vértices de la base, que son los cortes del plano con los ejes. Basta anular las otras dos coordenadas en $\pi \equiv 2x-y-2z-2=0$:

$y=z=0\Rightarrow 2x=2\Rightarrow A(1,0,0)$

$x=z=0\Rightarrow -y=2\Rightarrow B(0,-2,0)$

$x=y=0\Rightarrow -2z=2\Rightarrow C(0,0,-1)$



El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

$\overrightarrow{AB}=(-1,-2,0)\overrightarrow{AC}=(-1,0,-1)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -2& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\mid =(2,-1,-2)$

$S={\displaystyle \frac{\mid (2,-1,-2)\mid }{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{4+1+4}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}{\text{u}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tetraedro?}}$

El volumen de un tetraedro es un tercio del área de la base por la altura, y la altura es justamente la distancia del cuarto vértice al plano que contiene a la base:

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh\Rightarrow 3={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot h\Rightarrow 3={\displaystyle \frac{h}{2}}\Rightarrow h=6$

El cuarto vértice tiene que estar a 6 unidades del plano $\pi$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sirvan}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tetraedros}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{base}}\mathbf{\text{dada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alado.}}$

Buscamos los puntos $P(x,y,z)$ que distan 6 de $\pi$:

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2x-y-2z-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2x-y-2z-2\mathrm{\mid }}{3}}=6\Rightarrow \mathrm{\mid }2x-y-2z-2\mathrm{\mid }=18$

lo que da dos planos paralelos a $\pi$, uno a cada lado:

$2x-y-2z-2=18\Rightarrow 2x-y-2z=202x-y-2z-2=-18\Rightarrow 2x-y-2z=-16$

Cualquier punto de cualquiera de los dos sirve. Tomando en cada uno el más cómodo, el del eje $OX$:

$y=z=0,2x=20\Rightarrow P_1(10,0,0)y=z=0,2x=-16\Rightarrow P_2(-8,0,0)$

Se comprueban las dos distancias:

$d(P_1,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }20-2\mathrm{\mid }}{3}}=6d(P_2,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-16-2\mathrm{\mid }}{3}}=6$

Dos puntos válidos son $P_1(10,0,0)$ y $P_2(-8,0,0)$, situados en semiespacios distintos: los dos tetraedros que forman con la base $ABC$ tienen volumen $3{\text{u}}^3$.