Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2020

Dados los vectores $\vec{u}=(1,2,3)$ y $\vec{v}=(0,1,1)$: [2 puntos]

a) Halle un vector $\vec{w}$ de módulo uno que sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$.

b) Calcule el área del paralelogramo determinado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a los dos, así que se calcula primero y después se normaliza.

$\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =(2-3,0-1,1-0)=(-1,-1,1)$

$\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid =\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$

Dividiendo por el módulo se obtiene un vector unitario en esa dirección:

$\vec{w}={\displaystyle \frac{\vec{u}\times \vec{v}}{\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(-1,-1,1)=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$



Se comprueba que es perpendicular a los dos: $(-1,-1,1)\cdot (1,2,3)=-1-2+3=0$ y $(-1,-1,1)\cdot (0,1,1)=0-1+1=0$.

El vector opuesto, $-\vec{w}$, también cumple lo pedido; el enunciado solo exige uno.



El área del paralelogramo que dos vectores determinan es precisamente el módulo de su producto vectorial, que ya está calculado:

$A=\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid =\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}$

El área del paralelogramo es $\sqrt{3}$ unidades cuadradas.