Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

B.3. Calificación máxima: 2,5 puntos.

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices $P_1,P_2,P_{3}y{P}_4$ de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que $P_1(1,1,1),P_2(2,1,0)y{P}_3(1,3,2)$, pero del cuarto punto $P_4(3,a,3)$ hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada.

a) (1,5 puntos) A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es $V=1$. También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es de 10. Determine los posibles valores de $a$.
b) (1 punto) Dado el punto $Q(3,3,3)$, se quiere imprimir ahora el paralelepípedo que tiene a los segmentos $P_1{P}_2,P_2{P}_3,P_3{P}_{4}y{P}_{4}Q$ como aristas. ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo que habría que suministrar al ordenador?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que salen de un vértice.

$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(1,0,-1),\overrightarrow{P_1{P}_3}=(0,2,1),\overrightarrow{P_1{P}_4}=(2,a-1,2)$

$[\overrightarrow{P_1{P}_2},\overrightarrow{P_1{P}_3},\overrightarrow{P_1{P}_4}]=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 1\\ 2& a-1& 2\end{array}\mid =9-a$

$V={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }9-a\mathrm{\mid }}{6}}=1\Rightarrow \mathrm{\mid }9-a\mathrm{\mid }=6\Rightarrow a=3\text{ o }a=15$



El enunciado impone una segunda condición: ninguna arista puede pasar de 10. Hay que comprobarla en los dos casos, porque solo el volumen no basta para decidir.

$a=15\Rightarrow P_4(3,15,3)\Rightarrow \mid \overrightarrow{P_1{P}_4}\mid =\sqrt{2^2+{14}^2+2^2}=\sqrt{204}\approx \mathrm{14,28}>10$

Ese valor se descarta, porque esa arista no cabría en la impresora. Con el otro la arista más larga es $\overrightarrow{P_2{P}_4}$ y se queda muy por debajo del límite.

$a=3\Rightarrow P_4(3,3,3)\Rightarrow \mid \overrightarrow{P_2{P}_4}\mid =\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\approx \mathrm{3,74}<10$

El único valor posible es $a=3$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ocho}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{paralelep}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pedo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{ordenador?}}$

Un paralelepípedo queda determinado por un vértice y las tres aristas que concurren en él; los demás vértices se obtienen sumando esos vectores de uno en uno, de dos en dos y los tres a la vez.

$\vec{u}=\overrightarrow{P_1{P}_2}=(1,0,-1),\vec{v}=\overrightarrow{P_1{P}_3}=(0,2,1),\vec{w}=\overrightarrow{P_{1}Q}=(2,2,2)$



Los cuatro primeros vértices son el de partida y los tres extremos de las aristas.

$P_1(1,1,1),P_2(2,1,0),P_3(1,3,2),Q(3,3,3)$

Sumando las aristas de dos en dos salen los tres vértices opuestos a cada una.

$P_1+\vec{u}+\vec{v}=(2,3,1);P_1+\vec{u}+\vec{w}=(4,3,2);P_1+\vec{v}+\vec{w}=(3,5,4)$

Y sumando las tres, el vértice opuesto a $P_1$.

$P_1+\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=(4,5,3)$

Los ocho vértices que hay que suministrar son $(1,1,1)$, $(2,1,0)$, $(1,3,2)$, $(3,3,3)$, $(2,3,1)$, $(4,3,2)$, $(3,5,4)$ y $(4,5,3)$.