Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2023

Halle un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores $\vec{u}=(1,2,0)$ y $\vec{v}=(-1,0,1)$. [2 puntos]

El producto vectorial de dos vectores es ortogonal a los dos, así que lo calculamos y después lo ajustamos al módulo que se pide dividiéndolo entre el suyo y multiplicando por $5$.

$\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\mid =(2-0)\vec{i}-(1-0)\vec{j}+(0+2)\vec{k}=(2,-1,2)$

$\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid =\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$\vec{w}=5\cdot {\displaystyle \frac{(2,-1,2)}{3}}=({\displaystyle \frac{10}{3}},-{\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{10}{3}})$

Comprobamos que cumple las dos condiciones:

$\mid \vec{w}\mid =\sqrt{{\displaystyle \frac{100}{9}}+{\displaystyle \frac{25}{9}}+{\displaystyle \frac{100}{9}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{225}{9}}}={\displaystyle \frac{15}{3}}=5$

$\vec{w}\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{10}{3}}+0=0\vec{w}\cdot \vec{v}=-{\displaystyle \frac{10}{3}}+0+{\displaystyle \frac{10}{3}}=0$

Un vector de módulo $5$ ortogonal a los dos dados es $(\frac{10}{3},-\frac{5}{3},\frac{10}{3})$; su opuesto, $(-\frac{10}{3},\frac{5}{3},-\frac{10}{3})$, también sirve.