Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

Dados los puntos $A(1,2,1)$, $B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$, determine:

a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [1 punto]

b) El ángulo determinado por dichos vectores. [0,5 puntos]

c) El área del triángulo que forman $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

Los tres apartados se resuelven a partir de los vectores que parten del vértice $A$ y de su producto vectorial:

$\overrightarrow{AB}=(0,3,1)-(1,2,1)=(-1,1,0)$

$\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)-(1,2,1)=(0,-2,-2)$





El producto vectorial de dos vectores es ortogonal a ambos, así que basta calcularlo y dividirlo entre su módulo para que resulte unitario.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& 0\\ 0& -2& -2\end{array}\mid =(-2-0)\vec{i}-(2-0)\vec{j}+(2-0)\vec{k}=(-2,-2,2)$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\vec{u}={\displaystyle \frac{(-2,-2,2)}{2\sqrt{3}}}=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Un vector unitario y ortogonal a los dos dados es $\vec{u}=(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$; su opuesto también lo es.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{vectores.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El ángulo se obtiene del producto escalar, ya que $\vec{x}\cdot \vec{y}=\mathrm{\mid }\vec{x}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{y}\mathrm{\mid }\cos \alpha$.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)\cdot 0+1\cdot (-2)+0\cdot (-2)=-2$

$\mid \overrightarrow{AB}\mid =\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},\mid \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{0+4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{-2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \alpha ={120}^{\circ }$

El ángulo que forman $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ es de ${120}^{\circ }$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo construido sobre los dos vectores, y el triángulo es su mitad.

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}{\text{u}}^2$

El área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es de $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}$ unidades de área.