Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

a) Dados los vectores $\vec{u}=(2,1,0)$, $\vec{v}=(5,0,1)$ y $\vec{w}=(a,b,1)$, calcule $a$ y $b$ para que $\vec{u}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes. [1 punto]

b) Calcule el volumen del paralelepípedo que forman $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{z}=(1,2,1)$. [1 punto]

Cada condición da una ecuación: dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar se anula, y tres vectores del espacio son linealmente dependientes cuando el determinante que forman es nulo.

$\vec{u}\perp \vec{w}\Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{w}=2a+b+0=0$

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 5& 0& 1\\ a& b& 1\end{array}\mid =0+a+0-0-2b-5=a-2b-5=0$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones. De la primera, $b=-2a$, y sustituyendo en la segunda:

$a-2(-2a)-5=0\Rightarrow 5a=5\Rightarrow a=1$

$b=-2\cdot 1=-2$

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=-2$, con lo que $\vec{w}=(1,-2,1)$.



El volumen del paralelepípedo construido sobre tres vectores es el valor absoluto de su producto mixto.



$[\vec{u},\vec{v},\vec{z}]=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 5& 0& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =0+1+0-0-4-5=-8$

$V=\mid [\vec{u},\vec{v},\vec{z}]\mid =\mathrm{\mid }-8\mathrm{\mid }=8{\text{u}}^3$

El volumen del paralelepípedo es de $8$ unidades cúbicas.