Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2024

Problema 4.

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P=(2,1,3)$ y $Q=(1,3,1)$, y los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R=(4,7,6)$.

a) Calcular la ecuación de la recta $r$. (2 puntos)
b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (3 puntos)
c) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. (5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$



Como se puede apreciar, un vector director de la recta $r$ será $\overrightarrow{PQ}$.

$\overrightarrow{PQ}=(1,3,1)-(2,1,3)=(-1,2,-2)$

$\text{Y por tanto, la recta }r\text{ viene dada por:}$

$r:\{\begin{array}{l}x=4-\lambda \\ y=7+2\lambda \\ z=6-2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cuadrado.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{Los vectores }\overrightarrow{PQ}\text{ y }\overrightarrow{PR}\text{ son vectores directores del plano pedido.}$

$\overrightarrow{PQ}=(-1,2,-2)$

$\overrightarrow{PR}=(4,7,6)-(2,1,3)=(2,6,3)$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 2& -2\\ 2& 6& 3\end{array}\mid =(18,-1,-10)$

$\pi :Ax+By+Cz+D=0\Rightarrow \pi :18x-y-10z+D=0$

$P(2,1,3)\in \pi \Rightarrow 18\cdot 2-1-10\cdot 3+D=0\Rightarrow D=-5$

$\Rightarrow \pi :18x-y-10z-5=0$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{Un punto gen}\acute{\text{e}}\text{rico de r es }T(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )\text{ y buscamos los puntos T tales que }\overrightarrow{PT}\perp \overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{PT}=(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )-(2,1,3)=(2-\lambda ,6+2\lambda ,3-2\lambda )$

$\overrightarrow{PT}\perp \overrightarrow{PQ}\Rightarrow \overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{PQ}=0$

$(2-\lambda ,6+2\lambda ,3-2\lambda )\cdot (-1,2,-2)=0$

$-2+\lambda +12+4\lambda -6+4\lambda =0$

$9\lambda +4=0\Rightarrow \lambda =-\frac{4}{9}$

$\Rightarrow T(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )=T(\frac{40}{9},\frac{55}{9},\frac{62}{9})$

Obtención del punto $S$.

$\overrightarrow{QP}=(1,-2,2)$

$\overrightarrow{QS}=(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )-(1,3,1)=(3-\lambda ,4+2\lambda ,5-2\lambda )$

$\overrightarrow{QS}\perp \overrightarrow{QP}\Rightarrow \overrightarrow{QS}\cdot \overrightarrow{QP}=0$

$(3-\lambda ,4+2\lambda ,5-2\lambda )\cdot (1,-2,2)=0$

$3-\lambda -8-4\lambda +10-4\lambda =0$

$-9\lambda +5=0\Rightarrow \lambda =\frac{5}{9}$

$\Rightarrow S(4-\lambda ,7+2\lambda ,6-2\lambda )=S(\frac{31}{9},\frac{73}{9},\frac{44}{9})$