Examen de Matemáticas II de Extremadura 2024 (convocatoria ordinaria)

Sea $b\in \mathbb{R}$ y la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& b+1\\ b+2& 1& 1\\ 1& 1& b\end{array}\right)$

a) Calcule los valores de $b$ para los que $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Halle $A^{-1}$ para el caso $b=0$ (debe justificarse adecuadamente la respuesta). [1 punto]

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$, $M=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\\ a-b& 1\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, halle los valores de $a$ y $b$ para que el producto $A\cdot M$ sea igual a la inversa de la matriz $N$. [2 puntos]

Halle la ecuación del plano que contiene a la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-y-4z+1=0\\ x-2z+1=0\end{array}$ y es paralelo a la recta de ecuación $s\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-3}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$. [2 puntos]

Dados los puntos $A(1,2,1)$, $B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$, determine:

a) Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. [1 punto]

b) El ángulo determinado por dichos vectores. [0,5 puntos]

c) El área del triángulo que forman $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

Halle los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$. [2 puntos]

Calcule el valor de $a$ para que la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-x\cdot e^x}{x^2-2\cos (x)+2}}& \text{si }x\mathrm{\ne }0\\ a& \text{si }x=0\end{array}$

sea continua en $x=0$. [2 puntos]

Halle una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)=(2x+5)\cdot e^{-2x}$ que cumpla $F(0)=0$. [2 puntos]

Calcule el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x)=x^3-5x$ y $g(x)=-x$. [2 puntos]

En una residencia de ancianos el 80 % de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el 60 % tiene redes sociales, y el 10 % no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Calcule la probabilidad:

a) De que un residente use correo electrónico y redes sociales. [0,5 puntos]

b) De que un residente use sólo una de las dos cosas. [0,75 puntos]

c) De que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales. [0,75 puntos]

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es 0,5, determine:

a) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? [0,75 puntos]