Examen de Matemáticas II de Extremadura 2025 (convocatoria extraordinaria)

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con $m\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}mx+7y+5z=0\\ x+my+z=3\\ y+z=-2\end{array}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para el caso $m=1$. [1 punto]

Sean las matrices $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 2& 3& 5\\ 1& 3& 1\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 2& 1& -3\end{array}\right]$

a) Obtenga la inversa de la matriz $A^T+I$, donde $I$ es la matriz unidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A^{T}X-I=2B-X$ ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$). [1,25 puntos]

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x^3}}$, calcule los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$. [1,25 puntos]

b) Estudie los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a=2$, $b=-2$. [1,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=x^2-4x+3$ y $g(x)=x+3$

a) Calcule la primitiva de ${\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$ que pase por el punto $(5,0)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. [1,25 puntos]

Dados los puntos $A=(1,2,3)$, $B=(2,3,4)$, $C=(3,4,3)$

a) ¿Están $A$, $B$ y $C$ alineados? [0,75 puntos]

b) Halle un vector que sea ortogonal a $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$. [1 punto]

c) Halle el punto simétrico del punto $A$ respecto del punto $B$. [0,75 puntos]

Dada la recta $s\equiv {\displaystyle \frac{x}{-4}}={\displaystyle \frac{y-1}{3}}={\displaystyle \frac{z+1}{0}}$, el plano $\pi \equiv x-2y+3z-6=0$ y el punto $P(1,-1,0)$

a) Obtenga la ecuación del plano perpendicular a la recta $s$ que pase por $P$. [0,75 puntos]

b) Calcule la distancia del punto $P$ a la recta $s$. [1 punto]

c) Calcule el ángulo que forma la recta $s$ con el plano $\pi$. [0,75 puntos]

Se sabe que el 30 % de una población de la Comarca Villuercas-Ibores-Jara ve el programa de televisión «La Revuelta». La productora El Terrat, empresa encargada de llevar a cabo dicho programa, decide llamar por teléfono, al azar, a 10 personas de esa población:

a) Calcule la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas. [0,75 puntos]

c) Se sabe que, en la misma población, el 35 % ve el programa «El Hormiguero» y se sabe también que el 40 % no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea los dos programas? [1 punto]