Examen de Matemáticas II de Extremadura 2026 (convocatoria extraordinaria)

Dadas las matrices $A=\left[\begin{array}{ccc}k& -1& 1\\ 1& 0& k\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$, $C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$

a) Calcule el valor de $k$ para el cual se verifica que $A^t\cdot B=C$. [0,75 puntos]

b) Calcule el valor o valores de $k$ para los cuales existe la inversa de $A\cdot C$ y calcule la inversa de $A\cdot C$ para el caso $k=0$. [1 punto]

c) Calcule el valor de $k$ para el cual se cumple que $B^2=B-I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. [0,75 puntos]

Dado el sistema

$\{\begin{array}{l}kx+2y-z=3k\\ 2x+ky-2z=6\\ x-y+z=k\end{array}$

a) Discuta dicho sistema según los valores del parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para el valor $k=3$. [1 punto]

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x-1}}$

a) Determine los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$. [1,25 puntos]

b) Calcule una primitiva de la función $g(x)=(x^2-3x)\cdot e^x$ que pase por el punto $P(0,1)$. [1,25 puntos]

a) Justifique, indicando los teoremas en los que se basa, que la ecuación $x^3-2x^2+2x-2=0$ tiene una única solución real y encuentre dicha solución con un error menor de una décima. [1,25 puntos]

b) Dada la función $g(x)=-x^2+2x+2$, determine el área de la región limitada por las gráficas de las funciones $g(x)$ y $g^{\mathrm{\prime }}(x)$. [1,25 puntos]

Dados los puntos $A(4,3,3)$, $B(3,3,4)$, $C(1,0,4)$ y $D(4,0,1)$,

a) Justifique de forma razonada que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ están en el mismo plano y halle la ecuación del plano que determinan. [1 punto]

b) Calcule el valor de $k$ para que el punto $P(7,k,2)$ esté en la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $C$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia del punto $B$ a la recta que pasa por $A$ y $C$. [0,75 puntos]

Dados los planos ${\pi }_1:x+ky-3z-6=0$, ${\pi }_2:2x-y-5=0$ y el punto $A(2,3,-4)$:

a) Calcule el valor de $k$ para que los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ sean perpendiculares. [0,5 puntos]

b) Para $k=2$, calcule el simétrico del punto $A$ respecto del plano ${\pi }_1$. [1,5 puntos]

c) Para $k=2$, calcule la distancia del punto $A$ al plano ${\pi }_1$. [0,5 puntos]

El pasado mes de diciembre falleció el cantante extremeño Roberto Iniesta (Robe), considerado uno de los grandes iconos de la música española. Robe publicó, entre otros, 12 discos con su grupo Extremoduro y 4 discos en solitario. Nos hemos encontrado con un fan que nos ha dicho que se sabe el 70 % de las canciones de Extremoduro y el 80 % de las canciones de su etapa en solitario. Si ponemos una canción de uno de los discos de Robe:

a) ¿Qué probabilidad hay de que ese fan se sepa la canción? [1 punto]

b) Si nos ha dicho que se sabe la canción que está sonando, ¿qué probabilidad hay de que la canción sea de la etapa de Extremoduro? [0,5 puntos]

c) ¿Qué probabilidad hay de que la canción sea de su etapa en solitario o no la sepa? [1 punto]