Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dados los planos ${\pi }_1:x+ky-3z-6=0$, ${\pi }_2:2x-y-5=0$ y el punto $A(2,3,-4)$:

a) Calcule el valor de $k$ para que los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ sean perpendiculares. [0,5 puntos]

b) Para $k=2$, calcule el simétrico del punto $A$ respecto del plano ${\pi }_1$. [1,5 puntos]

c) Para $k=2$, calcule la distancia del punto $A$ al plano ${\pi }_1$. [0,5 puntos]

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar es nulo.

${\vec{n}}_1=(1,k,-3){\vec{n}}_2=(2,-1,0)$

${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=2-k+0=0\Rightarrow k=2$

Los planos son perpendiculares para $k=2$.



Con $k=2$ el plano es ${\pi }_1:x+2y-3z-6=0$. El simétrico se obtiene en tres pasos: se traza la recta perpendicular al plano por $A$, se halla el pie $M$ de esa perpendicular y se impone que $M$ sea el punto medio de $A$ y $A^{\mathrm{\prime }}$.

i) La recta perpendicular tiene por director la normal del plano.

$s:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+2t\\ z=-4-3t\end{array}$

ii) Sustituimos en la ecuación del plano para hallar el pie.

$(2+t)+2(3+2t)-3(-4-3t)-6=0$

$2+t+6+4t+12+9t-6=0\Rightarrow 14t+14=0\Rightarrow t=-1$

$M=(2-1,3-2,-4+3)=(1,1,-1)$

iii) Imponemos que $M$ sea el punto medio del segmento $A{A}^{\mathrm{\prime }}$.

$A^{\mathrm{\prime }}=2M-A=(2\cdot 1-2,2\cdot 1-3,2\cdot (-1)-(-4))=(0,-1,2)$



El simétrico de $A$ respecto de ${\pi }_1$ es el punto $A^{\mathrm{\prime }}(0,-1,2)$.



Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,{\pi }_1)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2+2\cdot 3-3\cdot (-4)-6\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4+9}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }14\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}=\sqrt{14}\approx \mathrm{3,74}$

La distancia del punto $A$ al plano es de $\sqrt{14}\approx \mathrm{3,74}$ unidades, que es también la mitad de la distancia entre $A$ y su simétrico.