Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Considere la recta $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$.

4.1.1. Calcule la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y al punto $Q(2,-1,1)$.

4.1.2. Compruebe que la recta $r$ es paralela al plano ${\pi }^{\ast }:x+y-z-1=0$. Calcule la distancia de $r$ a ${\pi }^{\ast }$.

4.2. Considere el punto $P(3,0,-1)$.

4.2.1. Calcule el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P$ con respecto al punto $Q(2,-1,2)$.

4.2.2. Calcule el punto $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P$ con respecto al plano $\pi :x+2y+z-8=0$.

Se resuelven los dos apartados, aunque el examen solo pide uno.

$\mathbf{\text{4.1.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\pi \mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}r\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}Q(2,-1,1)\mathbf{\text{.}}$

De la ecuación continua de la recta se leen directamente un punto y un vector director:

$r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{3}}⟹P(1,1,0),\vec{v}=(2,1,3)$

El plano buscado contiene la recta, luego contiene el punto $P$ y la dirección $\vec{v}$; y contiene además el punto $Q$, luego contiene también la dirección $\overrightarrow{PQ}$:

$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,-1-1,1-0)=(1,-2,1)$

Como los dos vectores no son proporcionales, determinan el plano. Un vector normal es su producto vectorial:

$\vec{n}=\vec{v}\times \overrightarrow{PQ}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 2& 1& 3\\ 1& -2& 1\end{array}\mid$

$\vec{n}=\vec{\mathrm{ı}}(1\cdot 1-3\cdot (-2))-\vec{\mathrm{ȷ}}(2\cdot 1-3\cdot 1)+\vec{k}(2\cdot (-2)-1\cdot 1)$

$\vec{n}=(7,1,-5)$

Con el vector normal y el punto $P(1,1,0)$ se escribe la ecuación general:

$7(x-1)+1(y-1)-5(z-0)=0$

$\boxed{{\displaystyle \pi :7x+y-5z-8=0}}$

Comprobación: $P(1,1,0)$ da $7+1-0-8=0$ y $Q(2,-1,1)$ da $14-1-5-8=0$. Los dos puntos están en el plano.

También puede plantearse directamente con el determinante que expresa que los tres vectores son coplanarios, y sale lo mismo:

$\mid \begin{array}{ccc}x-1& y-1& z\\ 2& 1& 3\\ 1& -2& 1\end{array}\mid =0$

$\mathbf{\text{4.1.2.}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}r\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}{\pi }^{\ast }:x+y-z-1=0\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}r\mathbf{\text{a}}{\pi }^{\ast }\mathbf{\text{.}}$

La recta es paralela al plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano, es decir, cuando el producto escalar de ambos se anula. El normal de ${\pi }^{\ast }$ es ${\vec{n}}^{\ast }=(1,1,-1)$:

$\vec{v}\cdot {\vec{n}}^{\ast }=(2,1,3)\cdot (1,1,-1)=2+1-3=0$

Se anula, así que la recta o es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir los dos casos se comprueba si el punto $P(1,1,0)$ de la recta pertenece al plano:

$1+1-0-1=1\mathrm{\ne }0$

No pertenece, luego la recta $\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}$ al plano y no lo corta.

Al ser paralelos, todos los puntos de la recta están a la misma distancia del plano, de modo que basta calcular la distancia de uno cualquiera de ellos, por ejemplo del propio $P$:

$d(r,{\pi }^{\ast })=d(P,{\pi }^{\ast })={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\cdot 1+1\cdot 1-1\cdot 0-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}$

$\boxed{{\displaystyle d(r,{\pi }^{\ast })={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{0,577}\text{ u}}}$

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}{P}^{\mathrm{\prime }}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{de}}P(3,0,-1)\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}Q(2,-1,2)\mathbf{\text{.}}$

El simétrico respecto de un punto es el más sencillo de los tres tipos de simetría: $Q$ tiene que ser el punto medio del segmento que une $P$ con $P^{\mathrm{\prime }}$.

$Q={\displaystyle \frac{P+P^{\mathrm{\prime }}}{2}}⟹P^{\mathrm{\prime }}=2Q-P$

$P^{\mathrm{\prime }}=2(2,-1,2)-(3,0,-1)=(4,-2,4)-(3,0,-1)$

$\boxed{{\displaystyle P^{\mathrm{\prime }}(1,-2,5)}}$

Comprobación: el punto medio de $P(3,0,-1)$ y $P^{\mathrm{\prime }}(1,-2,5)$ es $({\displaystyle \frac{3+1}{2}},{\displaystyle \frac{0-2}{2}},{\displaystyle \frac{-1+5}{2}})=(2,-1,2)=Q$.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}{P}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{de}}P\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\pi :x+2y+z-8=0\mathbf{\text{.}}$

Aquí el procedimiento tiene tres pasos: se traza por $P$ la recta perpendicular al plano, se halla el pie de esa perpendicular y se usa que el pie es el punto medio entre $P$ y su simétrico.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Recta}}\mathbf{\text{perpendicular.}}$ Su vector director es el normal del plano, $\vec{n}=(1,2,1)$:

$s:(x,y,z)=(3,0,-1)+t(1,2,1)⟹\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2t\\ z=-1+t\end{array}$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Pie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{perpendicular.}}$ Se sustituyen las paramétricas en la ecuación del plano:

$(3+t)+2(2t)+(-1+t)-8=0$

$3+t+4t-1+t-8=0⟹6t-6=0⟹t=1$

$M=(3+1,2\cdot 1,-1+1)=(4,2,0)$

Se comprueba que $M$ está en el plano: $4+4+0-8=0$.

$\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico.}}$ El pie $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$:

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2M-P=(8,4,0)-(3,0,-1)$

$\boxed{{\displaystyle P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5,4,1)}}$

Comprobación: el punto medio de $P(3,0,-1)$ y $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5,4,1)$ es $(4,2,0)=M$, que efectivamente pertenece al plano, y el vector $\overrightarrow{P{P}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=(2,4,2)=2(1,2,1)$ es proporcional al normal, como tiene que ser en una simetría especular.