Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4A) Sea $P$ el punto de corte de las rectas

$r_1\equiv \{\begin{array}{l}x=1+t,\\ y=0,\\ z=-t;\end{array}{r}_2\equiv \{\begin{array}{l}x=s,\\ y=-1+s,\\ z=0.\end{array}$

Calcula el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P$ con respecto al plano de ecuación $2x+y-z=3$.

El ejercicio se resuelve en dos fases: primero se localiza el punto $P$ cortando las dos rectas y después se calcula su simétrico respecto del plano.

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Dos rectas se cortan en los valores de los parámetros que hacen coincidir las tres coordenadas. Se igualan, por tanto, las ecuaciones paramétricas de $r_1$ y $r_2$:

$\{\begin{array}{l}1+t=s\\ 0=-1+s\\ -t=0\end{array}$

La segunda ecuación da directamente $s=1$ y la tercera, $t=0$. Se comprueba que esos valores cumplen también la primera:

$1+0=1=s$

Como el sistema es compatible, las rectas se cortan. Sustituyendo $t=0$ en $r_1$ se obtiene el punto:

$P(1,0,0)$

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano.}}$

El simétrico de un punto respecto de un plano se apoya en la proyección ortogonal: se traza por $P$ la recta perpendicular al plano, se halla el pie $M$ de esa perpendicular y se prolonga la misma distancia al otro lado. Es decir, $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{\mathrm{\prime }}$.

El vector normal del plano sirve de vector director de la recta perpendicular:

$\pi \equiv 2x+y-z=3\Rightarrow \vec{n}=(2,1,-1)$

$s\equiv \{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=-\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

El pie $M$ es el punto de esa recta que está en el plano, así que se sustituyen sus coordenadas en la ecuación del plano:

$2(1+2\lambda )+\lambda -(-\lambda )=3$

$2+4\lambda +\lambda +\lambda =3\Rightarrow 6\lambda =1\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$M(1+{\displaystyle \frac{2}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{6}})=M({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{1}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{6}})$

Imponiendo que $M$ sea el punto medio del segmento que une $P$ y $P^{\mathrm{\prime }}$ se despejan las coordenadas del simétrico:

$M={\displaystyle \frac{P+P^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}=2M-P$

$P^{\mathrm{\prime }}=(2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}-1,2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}-0,2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{6}})-0)$

$P^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{8}{3}}-1,{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})=({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$



El simétrico de $P$ respecto del plano es el punto $P^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$.