Examen de Matemáticas II de País Vasco 2026 (convocatoria extraordinaria)

PRIMER EJERCICIO (2 puntos).
Una central lechera recoge leche de tres productores locales, A, B y C. El productor A lleva su leche en recipientes de 10 litros y se le paga a 5 € por cada recipiente. La productora B utiliza recipientes de 15 litros y recibe 9 € por cada recipiente. Por último, la productora C aporta recipientes de 12 litros y se le paga a 4 € por cada uno. En la última semana, se han recogido un total de 612 litros de leche, en 48 recipientes y se debe pagar en total 304 €, a repartir entre los tres ganaderos.

(a) (1 punto) Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza la situación descrita.
(b) (1 punto) ¿Cuánto se debe pagar a cada productor por la leche que ha llevado a la central la última semana?

SEGUNDO EJERCICIO (2 puntos).
Sea $f(x)=x^3+A{x}^2+Bx+C$.

(a) (1,5 puntos) Encuentra los valores de $A$, $B$ y $C$ para que la tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$ sea la recta $y=3-3x$ y $f$ tenga un extremo relativo en $x=1$.
(b) (0,5 puntos) El extremo relativo de $f$ en el punto $x=1$, ¿es un máximo o un mínimo?

TERCER EJERCICIO (2 puntos).
Se ha realizado un estudio de la venta de coches del año 2025 en España. De un total de 1.148.650 unidades vendidas, el 10 % corresponde a coches totalmente eléctricos, siendo todos ellos de cambio automático; el 52 % de las unidades vendidas corresponde a coches híbridos, siendo de cambio manual el 6 % de ellos; del resto de unidades vendidas, tienen cambio automático el 53 % de ellos.

(a) (1 punto) Calcula la cantidad de coches con cambio automático vendidos en España en 2025.
(b) (1 punto) Elegido al azar un coche vendido en España en 2025 y sabiendo que tiene cambio automático, calcula la probabilidad de que sea híbrido.

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4A) Sea $P$ el punto de corte de las rectas

$r_1\equiv \{\begin{array}{l}x=1+t,\\ y=0,\\ z=-t;\end{array}{r}_2\equiv \{\begin{array}{l}x=s,\\ y=-1+s,\\ z=0.\end{array}$

Calcula el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P$ con respecto al plano de ecuación $2x+y-z=3$.

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4B) Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(1,7,4)$ y cuyo vector director es $\vec{v}=(6,3,-5)$ y sea $\pi \equiv 2x+y-3z=-13$.

(a) (1 punto) Calcula el punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi$.
(b) (1 punto) Calcula el ángulo mínimo formado por la recta $r$ y el plano $\pi$.

QUINTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(5A) Calcula la integral

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}}dx}$

explicando los pasos realizados.

QUINTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(5B)

(a) (1 punto) Dibuja el recinto limitado por la parábola de ecuación $y=x^2-{\pi }^2$ y la gráfica de la función $f(x)=\cos (x\mathrm{/}2)$.
(b) (1 punto) Calcula el área del recinto del apartado anterior, escribiendo el resultado en función del número $\pi$.