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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discutir el sistema de ecuaciones lineales que sigue, en función del parámetro

α

{\begin{cases} α x + 2 y - z = α, \\ 2 x + α y + z = 2 + α, \\ x - α y + 2 z = 2 α . \end{cases}

Resolver el sistema para

α = 1

, si es posible.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Sean

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}) .

Calcular la matriz

X

de orden

2 \times 2

que verifica

A^{2} \cdot X + B = C .

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Sea

r

la recta de ecuaciones paramétricas

{x = t, y = 2 + 2 t, z = 1 + 3 t},

y sean

A = (1, 2, 3)

B = (3, 2, 1)

. Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta

r

y que pasa por los puntos

A

B

. Calcular la distancia de la recta

r

a ese plano.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Sean los puntos

A = (0, 2, 1)

B = (1, b, 0)

C = (- 1, 0, 2)

D = (1, 1, 1)

.

a) Calcular el valor de

b

para que

A

B

C

D

estén en el mismo plano.
b) El plano que contiene a los puntos

A

B

C

D

es perpendicular al segmento

P Q

y lo divide en dos partes iguales. Si

P = (1, 2, - 3)

, calcular las coordenadas de

Q

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f (x) = \frac{x - 4}{x^{2} - 4}

y calcular sus máximos y sus mínimos.

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Sea

f (x) = x^{4} + A x^{2} + B x + C

. Obtener los valores de

A

B

C

para que en el punto de abscisa

x = 0

la recta tangente a la gráfica de

f

sea

y = 2 x - 1

y en el punto de abscisa

x = 1

la recta tangente a la gráfica de

f

sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa

x = 1

, ¿es máximo o mínimo?

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Dibujar el recinto limitado por las parábolas

y = 4 x - x^{2}

y = x^{2} - 6

y calcular su área.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Calcular

\int x \ln (x + 1) d x

, explicando el método utilizado.

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Diagramas de Venn

Ejercicio A5
De los 700 estudiantes que tiene un centro escolar se sabe que 500 proceden del barrio donde está ubicado el centro, 575 utilizan el servicio de comedor y 400 son del barrio y utilizan el servicio de comedor. Se escoge un estudiante al azar.

a) Si es del barrio, ¿cuál es la probabilidad de que use el servicio de comedor?
b) Si usa el servicio de comedor, ¿cuál es la probabilidad de que no proceda del barrio?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del barrio o use el servicio de comedor?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea del barrio ni utilice el servicio de comedor?

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

Ejercicio B5
La estatura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 1,74 m y desviación típica 0,05 m. Se elige un individuo al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su estatura esté comprendida entre 1,64 y 1,84 m?
c) Si la población está compuesta por 1500 individuos, ¿cuántos tienen una estatura inferior a 1,54 m?

Ver la solución del ejercicio 10