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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro

α

{\begin{cases} x + y + α z = α, \\ 2 x + α y + α z = 1, \\ x + α y + z = 1. \end{cases}

Resuelve el sistema para

α = - 1

α = 1

, si es posible.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Sea la matriz

A = (\begin{array}{ccc} m & m & 2 \\ 1 & m - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{array}) .

(a) Determina para qué valores del parámetro

m

la matriz

A

no tiene inversa.
(b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de

A

para

m = 0

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Se consideran la recta

r

cuyas ecuaciones paramétricas son:

r \equiv {\begin{cases} x = t, \\ y = 2 t, \\ z = 0; \end{cases}

y el plano

π \equiv x + y + z - 2 = 0

. Calcula las coordenadas de un punto

P

perteneciente a la recta

r

tal que la distancia de

P

al plano

π

sea igual que la distancia de

P

al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Sean el punto

P = (1, 2, a)

, donde

a \neq 0

, y el plano

π \equiv x + y + 2 z = 3

. Halla las coordenadas del punto simétrico de

P

respecto al plano

π

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Dada la función

f (x) = (x - 1)^{2} e^{- 2 x}

, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Sea

f (x) = x^{3} + A x^{2} + B x + C

. Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

para que

f

se anule en el punto de abscisa

x = 1

y las rectas tangentes a la gráfica de

f

en los puntos de abscisa

x = - 1

x = 3

sean paralelas a la recta

y = 2 x + 1

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Calcula

\int \frac{7 x + 13}{(x + 1) (x^{2} - x - 2)} d x .

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones

f (x) = e^{x}

g (x) = e^{- x}

y la recta horizontal

y = e

, y calcula el área de ese recinto.

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Árboles de decisión

Ejercicio A5
Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:
T: 4 bolas negras y 6 blancas,
R: 7 bolas negras y 3 blancas.
Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

(a) sean negras,
(b) sean blancas,
(c) sean de distinto color.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

Ejercicio B5
El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,5.

(a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendido entre 50 y 68 gramos.
(b) Si el 30 % de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?

Ver la solución del ejercicio 10