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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro

α

{\begin{cases} α x + 2 y - 2 z = 2, \\ 2 x + 2 y - 2 z = α, \\ α x + 2 y - z = 1. \end{cases}

Resuelve el sistema para

α = 1

, si es posible.

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Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Calcula de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor del determinante

∣ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array} ∣,

sabiendo que

∣ \begin{array}{ccc} p + a & q + b & r + c \\ 2 x & 2 y & 2 z \\ p + x & q + y & r + z \end{array} ∣ = 6.

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Sea la recta de ecuación:

r \equiv {\begin{cases} 3 x + α y + z = 1. \\ 2 x + 6 y - 2 z = 6. \end{cases}

¿Existe algún valor de

α

para el cual el plano

π \equiv x + y + z = 1

contenga a la recta dada? Razona la respuesta.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta:

r \equiv {\begin{cases} 3 x + y + z = 0 \\ x - y + 2 z = 0. \end{cases}

¿Existe algún valor de

s

tal que el punto

(- 3, s, s)

pertenezca a la recta? Razona la respuesta.

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la función

f (x) = 2 x^{3} - 3 x + 1

que son paralelas a la recta

y = 3 x - 2

. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Sea

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + A x, & si x \leq 1, \\ B x - A, & si x > 1. \end{cases}

(a) Encuentra los valores de

A

B

para que

f

sea derivable en toda la recta real.
(b) Haz la representación gráfica de la función

f

con los valores de

A

B

obtenidos en el apartado (a).

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Calcula

\int \ln (x^{2} - 1) d x .

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por las gráficas de las funciones

f (x) = x

g (x) = x / 8

h (x) = \frac{1}{x^{2}}

y calcula el área de ese recinto.

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Árboles de decisión

Ejercicio A5
Una urna S contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna T, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean negras?
(b) Si las dos bolas extraídas son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la T?

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución binomial

Ejercicio B5
Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60 % de los hogares tienen al menos dos coches. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos coches?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares, ambos incluidos, tengan al menos dos coches?

Ver la solución del ejercicio 10