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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discutir, en función de

A

, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible:

S = {\begin{cases} x + y + z = 2 A, \\ 2 x + 3 y + 4 z = 2, \\ 4 x + 4 y + A z = 4 A . \end{cases}

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Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Dada la matriz

M = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})

, calcular razonadamente

M^{2020}

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Dada la recta

r = {\begin{cases} 3 x + y - z = 2 \\ 2 x + y + 4 z = 1, \end{cases}

y el plano

π = 3 x + (α + 1) (y + 1) + α z = 1

,

a) hallar

α

para que la recta y el plano sean paralelos,
b) determinar si el punto

P = (1, 1, 2)

pertenece al plano hallado en a).

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Hallar el punto

Q

, simétrico de

P = (1, 2, 3)

respecto al plano de ecuación:

x + y + z = 0

, explicando los pasos seguidos para su cálculo.

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Sea

f

la función definida como sigue:

f (x) = {\begin{cases} a x^{2} + 3 x, & x \leq 2, \\ x^{2} - b x - 4, & x > 2. \end{cases}

Calcular

a

b

razonadamente, sabiendo que

f

es derivable en toda la recta real.

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f (x) = x^{2} e^{2 x}

. Encontrar sus extremos.

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Representar la región finita del plano limitada por la curva

y = 3 - x^{2}

y por la recta

y = 2 x

. Calcular su área.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular la integral

\int x \cos (3 x) d x .

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Distribución normal

Ejercicio A5
Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal

N (10; 0,1)

. Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,8 y 10,1. Calcular:

a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.
b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Diagramas de Venn

Ejercicio B5
En un instituto el 40 por ciento de sus alumnos tiene el cabello castaño, el 35 por ciento tiene los ojos azules y el 15 por ciento tiene el cabello castaño y los ojos azules. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules?
b) Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?

Ver la solución del ejercicio 10