Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
Discutir, en función de $A$, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible:
$S=\{\begin{array}{l}x+y+z=2A,\\ 2x+3y+4z=2,\\ 4x+4y+Az=4A\mathrm{.}\end{array}$

$\mathbf{\text{Discutir,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible.}}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 4& 4& A\end{array}\right)$

Desarrollamos por la primera fila:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1(3A-16)-1(2A-16)+1(8-12)$

$=3A-16-2A+16-4=A-4$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\iff A=4$

Distinguimos los dos casos.

i) Si $A\mathrm{\ne }4$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(M)=\text{rg}(M^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $A=4$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 8\\ 2& 3& 4& 2\\ 4& 4& 4& 16\end{array}\right)$

La tercera fila de coeficientes es cuatro veces la primera, de modo que $\text{rg}(M)=2$. Al orlar el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$ con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 2& 3& 2\\ 4& 4& 16\end{array}\mid =1(48-8)-1(32-8)+8(8-12)=40-24-32=-16\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(M^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

El sistema es compatible determinado para todo $A\mathrm{\ne }4$ e incompatible para $A=4$; nunca es compatible indeterminado.



Aplicamos la regla de Cramer, que da cada incógnita como el cociente entre el determinante que resulta de sustituir su columna por la de términos independientes y el determinante del sistema.

$\mathrm{\mid }{M}_x\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2A& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 4A& 4& A\end{array}\mid =6A^2-30A+8$

$\mathrm{\mid }{M}_y\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2A& 1\\ 2& 2& 4\\ 4& 4A& A\end{array}\mid =-4A^2+26A-8$

$\mathrm{\mid }{M}_z\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2A\\ 2& 3& 2\\ 4& 4& 4A\end{array}\mid =-4A$

Dividiendo cada uno entre $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=A-4$:

$x={\displaystyle \frac{6A^2-30A+8}{A-4}},y={\displaystyle \frac{-4A^2+26A-8}{A-4}},z={\displaystyle \frac{-4A}{A-4}}$

Comprobamos el resultado con un valor concreto. Para $A=0$ el sistema queda $x+y+z=0$, $2x+3y+4z=2$, $4x+4y=0$, cuya solución es $x=-2$, $y=2$, $z=0$; y las fórmulas dan $x=\frac{8}{-4}=-2$, $y=\frac{-8}{-4}=2$, $z=0$.