Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
Discutir el sistema $S(a)$ en función de $a$, siendo
$S(a)=\{\begin{array}{l}ax-y+2z=2\\ x-2y-z=1\\ x+2y+az=3.\end{array}$
Resolver en función de $a$, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& 2\\ 1& -2& -1\\ 1& 2& a\end{array}\right)$

Desarrollamos por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(-2a+2)+1(a+1)+2(2+2)$

$=-2a^2+2a+a+1+8=-2a^2+3a+9$

Igualando a cero:

$2a^2-3a-9=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+72}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm 9}{4}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ a=-\frac{3}{2}\end{array}$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2(a-3)(a+{\displaystyle \frac{3}{2}})$

Distinguimos los casos.

i) Si $a\mathrm{\ne }3$ y $a\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $a=3$, la matriz ampliada es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 2\\ 1& -2& -1& 1\\ 1& 2& 3& 3\end{array}\right)$

El menor $\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -2\end{array}\mid =-5\mathrm{\ne }0$ da $\text{rg}(A)=2$. Orlándolo con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& -2& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =3(-6-2)+1(3-1)+2(2+2)=-24+2+8=-14\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

iii) Si $a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ se obtiene igualmente $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(A^{\ast })=3$, de modo que el sistema también es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }3$ y $a\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, e incompatible en esos dos valores. Nunca es compatible indeterminado.

$\mathbf{\text{Resolver}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Cramer,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible.}}$

Es posible siempre que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$. La regla de Cramer da cada incógnita como el cociente entre el determinante que resulta de sustituir su columna por la de términos independientes y el determinante del sistema.

$\mathrm{\mid }{A}_x\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 1& -2& -1\\ 3& 2& a\end{array}\mid =2(-2a+2)+1(a+3)+2(2+6)=-3a+23$

$\mathrm{\mid }{A}_y\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 2& 2\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& a\end{array}\mid =a(a+3)-2(a+1)+2(3-1)=a^2+a+2$

$\mathrm{\mid }{A}_z\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& -1& 2\\ 1& -2& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =a(-6-2)+1(3-1)+2(2+2)=-8a+10$

Dividiendo cada uno entre $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$:

$x={\displaystyle \frac{-3a+23}{-2(a-3)(a+\frac{3}{2})}},y={\displaystyle \frac{a^2+a+2}{-2(a-3)(a+\frac{3}{2})}},z={\displaystyle \frac{-8a+10}{-2(a-3)(a+\frac{3}{2})}}$

Estas expresiones dan la solución para cualquier $a$ distinto de $3$ y de $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.