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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2020 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria ordinaria de 2020. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discutir el sistema

S (a)

en función de

a

, siendo

S (a) = {\begin{cases} a x - y + 2 z = 2 \\ x - 2 y - z = 1 \\ x + 2 y + a z = 3. \end{cases}

Resolver en función de

a

, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Sea

M (α)

la matriz dada por

M (α) = (\begin{array}{ccc} 1 & α & 1 \\ α & 1 & α \\ 0 & α & 1 \end{array})

.

a) Determinar para qué valores de

α

la matriz no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para

α = 0

, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto

(- 1, 2, 3)

y es paralelo a los vectores

\vec{v} = (- 1, - 2, - 3)

\vec{w} = (1, 3, 5)

.
b) Hallar el valor de

A

para que el plano calculado en el apartado anterior y

A x - y + 5 z = 8

sean perpendiculares.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Sea

π

el plano

2 x - y + A z = 0

. Sea

r

la recta dada por

r \equiv {\begin{cases} 4 x - 3 y + 4 z = - 1 \\ 3 x - 2 y + z = - 3. \end{cases}

Hallar

A

para que

r

π

sean paralelos. Además, obtener el plano perpendicular a

r

y que pase por el origen.

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Dada la función

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c

, obtener los valores de

a

b

c

para que su gráfica pase por

(0, 2)

y tenga un extremo en

(1, - 1)

. ¿Tiene

f

más extremos?

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Sea

f (x) = x^{2} + 9

, y

P

el punto exterior a su gráfica de coordenadas

P = (0, 0)

. Calcular razonadamente la (o las) tangentes a la gráfica de

f

que pasan por el punto

P

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Dibujar la región encerrada por

f (x) = x^{2} - 2 x + 1

g (x) = - x^{2} + 5

, y calcular el área de dicha región.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Calcular las integrales indefinidas

I

J

explicando los métodos usados para su resolución.

I = \int x \cos (2 x) d x, J = \int \frac{d x}{x^{2} + 2 x - 3} .

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Árboles de decisión

Ejercicio A5
En una empresa el 70 por ciento de sus trabajadoras están satisfechas con su contrato, y entre las satisfechas con su contrato el 80 por ciento gana más de 1000 euros. Entre las no satisfechas solo el 20 por ciento gana más de 1000 euros. Si se elige una trabajadora al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 1000 euros?
b) Si gana más de 1000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que esté satisfecha con su contrato?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato?

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución binomial

Ejercicio B5
En un garaje hay 30 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil, con independencia de lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de 0,4, se pide:

a) Identificar y describir este modelo de probabilidad.
b) Hallar la probabilidad de que cierto día haya 8 automóviles aparcados.
c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.

Ver la solución del ejercicio 10