Examen de Matemáticas II de País Vasco 2025 (convocatoria extraordinaria)

EJERCICIO OBLIGATORIO (2,5 puntos).
Según estimación de cifras de cáncer en 2024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del 2,65 % respecto a 2023 con 279.260 casos, según el informe “Las cifras del cáncer en España 2024”, elaborado por la Sociedad Española de Oncología Médica (SEOM) y Red Española de Registros de Cáncer (REDECAN).
La estimación por edad y sexo es la siguiente: 5,56 % menores de 45 años, de los cuales el 62,86 % son mujeres; 59,77 % mayores de 65 años, de los cuales el 39,11 % son mujeres; del resto, el 42,25 % son mujeres.

(a) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer.
(b) (0,75 puntos) Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años.
(c) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos.
(d) (0,25 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea? Razona tu respuesta teniendo en cuenta únicamente los resultados anteriores.

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(2A) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$\{\begin{array}{l}x+3z=3+\alpha y\\ z+\alpha x+y-2=0\\ x+2z-y=1.\end{array}$

(a) (1,5 puntos) Discute la existencia de solución según los valores del parámetro $\alpha$.
(b) (1 punto) Si es posible, resuélvelo en el caso $\alpha =0$.

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(2B) Sean $\alpha$ un número real y
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 1\\ 0& 1& 1\\ 0& \alpha & 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

(a) (0,5 puntos) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que existe la matriz inversa de $A$.
(b) (2 puntos) En el caso particular en que $\alpha =0$ calcula, si es posible, $A^{-1}$ y $A^{2025}$.

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(3A) (2,5 puntos) Halla el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P(4,-3,0)$ respecto de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-2,0,1)$ y $B(-2,-1,0)$.

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(3B) Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2,3,4)$, $B(3,-1,-2)$, $C(5,-1,2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6,-5,-4)$, $E(7,1,4)$.

(a) (1,5 puntos) Calcula el ángulo entre el plano $\pi$ y la recta $r$, expresando el resultado en grados, minutos y segundos.
(b) (1 punto) En caso de que $r$ y $\pi$ se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(4A) Sea $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-3x-4}}$.

(a) (1 punto) Encuentra las asíntotas de la función $f$.
(b) (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.
(c) (0,5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=0$.

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(4B) Nos han pedido que hagamos un estudio para la fabricación de tazas cilíndricas. Como condición han impuesto que deben tener una capacidad de $216\pi$ ${\text{cm}}^3$. La empresa quiere que la fabricación sea lo más económica posible.

(a) (1,5 puntos) Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo.
(b) (1 punto) Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de 3 $\text{€}\mathrm{/}{\text{m}}^2$. Calcula el coste de imprimación de una taza.

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(5A) Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 puntos) $\int (2x+5)e^{2x}dx\mathrm{.}$
(b) (1,25 puntos) $\int {\displaystyle \frac{x+7}{x^2+10x+25}}dx\mathrm{.}$

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(5B) Se consideran la parábola de ecuación $y=x^2-3x$ y la recta de ecuación $x+y=8$.

(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas.
(b) (1,25 puntos) Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante.