Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(4A) Sea $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-3x-4}}$.

(a) (1 punto) Encuentra las asíntotas de la función $f$.
(b) (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.
(c) (0,5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=0$.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}$

Se trata de una función racional. Factorizamos el denominador para localizar los puntos que quedan fuera del dominio, que son los candidatos a asíntota vertical.

$x^2-3x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=4\\ x=-1\end{array}$

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{(x-4)(x+1)}},\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-1,4\}$

En ninguno de los dos puntos se anula el numerador, así que en ambos hay asíntota vertical. Estudiamos los límites laterales para conocer el comportamiento de la función:

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Para las asíntotas horizontales calculamos el límite en el infinito. Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es cero:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x^2-3x-4}}=0$

Existe asíntota horizontal $y=0$ en ambas ramas y, por tanto, no hay asíntota oblicua.

Las asíntotas son las verticales $x=-1$ y $x=4$, y la horizontal $y=0$.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}$

Derivamos aplicando la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x^2-3x-4)-x(2x-3)}{{(x^2-3x-4)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{x^2-3x-4-2x^2+3x}{{(x^2-3x-4)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2-4}{{(x^2-3x-4)}^2}}$

No hace falta ningún estudio de signos por intervalos: el denominador es un cuadrado, luego siempre positivo, y el numerador $-(x^2+4)$ es siempre negativo, porque $x^2+4\ge 4>0$ para cualquier $x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{para todo }x\in \text{Dom}(f)$

La función es decreciente en todo su dominio, es decir, en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,4)\cup (4,+\mathrm{\infty })$, y no tiene extremos relativos.



La recta tangente pasa por el punto de la gráfica y tiene por pendiente el valor de la derivada en esa abscisa.

$f(0)={\displaystyle \frac{0}{-4}}=0$

$m=f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{-0-4}{(-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-4}{16}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente:

$y-f(0)=m(x-0)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}$.