Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Problema 5.

Sea la función $f(x)=\frac{kx}{e^{2x}}$ donde $k$ es un parámetro real. Se pide:

a) Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (3 puntos)
b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos)
c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo $[-1,1]$. (2 puntos)

$f(x)=\frac{k\cdot x}{e^{2x}},k\in \mathbb{R}(\text{se excluye el caso }k=0)$

$\text{Dominio: Como ya se ha excluido }{e}^{2x}\mathrm{\ne }0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\Rightarrow \text{Dom}(f(x))=\mathbb{R}$

$\text{As}\acute{\text{ı}}\text{ntotas verticales: No hay, porque la funci}\acute{\text{o}}\text{n est}\acute{\text{a}}\text{ definida en }\mathbb{R}$

$\text{As}\acute{\text{ı}}\text{ntotas horizontales:}$

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{kx}{e^{2x}}=0\Rightarrow y=0$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{kx}{e^{2x}}\Rightarrow \text{no hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

$\text{As}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua: }y=mx+n$

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{kx}{x{e}^{2x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{k}{e^{2x}}=0$

$\Rightarrow \text{no hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}$



$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{k{e}^{2x}-2kx{e}^{2x}}{(e^{2x}{)}^2}=\frac{e^{2x}(k-2kx)}{(e^{2x}{)}^2}=\frac{k(1-2x)}{e^{2x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow k(1-2x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k\mathrm{\ne }0(\text{por hip}\acute{\text{o}}\text{tesis})\\ 1-2x=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\end{array}$



Creciente: $(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$
Decreciente: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$
Mínimo relativo: $(\frac{1}{2},f(\frac{1}{2}))=(\frac{1}{2},\frac{k}{2e})$



Creciente: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$
Decreciente: $(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$
Mínimo relativo: $(\frac{1}{2},f(\frac{1}{2}))=(\frac{1}{2},\frac{k}{2e})$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Justificar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$f(x)\text{ es continua en }\mathbb{R}\Rightarrow \text{tambi}\acute{\text{e}}\text{n lo ser}\acute{\text{a}}\text{ en }[-1,1]$

$f(-1)=-\frac{k}{e^2},f(1)=-k\frac{K}{e^2}=\frac{k^2}{e^2}<0\mathrm{\forall }k\mathrm{\ne }0$

$\text{Por tanto:}$

$i)\text{ Como }f(x)\text{ es continua en }[-1,1]$

$ii)\text{ Como }f(-1)\cdot f(1)<0\Rightarrow \text{El teorema de Bolzano nos asegura que existe al menos un punto }c\in (-1,1)\text{ tal que }f(c)=0,\text{ tal y como quer}\acute{\text{ı}}\text{amos demostrar}$