Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2x+1}{x}},& x<0\\ x^2-4x+3,& x\ge 0\end{array}$.

a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.
b) (0.25 puntos) ¿Es $f(x)$ derivable en $x=0$? Justifique la respuesta.
c) (0.75 puntos) Calcule, si existen, las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.
d) (0.75 puntos) Determine para $x\in (0,\mathrm{\infty })$ el punto de la gráfica de $f(x)$ en el que la pendiente de la recta tangente es nula y obtenga la ecuación de la recta tangente en dicho punto. En el punto obtenido, ¿alcanza $f(x)$ algún extremo relativo? En caso afirmativo, clasifíquelo.

Cada trozo está formado por funciones continuas en su intervalo: el primero es un cociente cuyo denominador solo se anula en $x=0$, que no pertenece a $(-\mathrm{\infty },0)$, y el segundo es un polinomio. Solo hay que mirar el empalme.

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{2x+1}{x}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

Al no ser finito el límite por la izquierda, no existe el límite en el origen y la función no es continua ahí, por mucho que el trozo de la derecha valga 3.

$f\text{ es continua en }\mathbb{R}-\{0\}$





No lo es. La derivabilidad implica continuidad, y acabamos de ver que en $x=0$ la función ni siquiera es continua.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales.}}$

Estudiamos el comportamiento en los dos infinitos y en el punto conflictivo.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x^2-4x+3)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{no hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal por la derecha}$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x+1}{x}}=2\Rightarrow y=2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal por la izquierda}$

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{2x+1}{x}}=-\mathrm{\infty }\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$



Que la pendiente sea nula significa que la derivada se anula, así que derivamos el segundo trozo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2$

$f(2)=4-8+3=-1$

La tangente en un punto de pendiente cero es una recta horizontal que pasa por él.

$y=-1$

Estudiamos el signo de la derivada para clasificar el punto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(0,2);f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(2,+\mathrm{\infty })$

La función pasa de decrecer a crecer, luego en $(2,-1)$ hay un mínimo relativo.