Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x\le 0\\ x\ln (x)& \text{si }x>0\end{array}$.

a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$.
b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$, así como los máximos y mínimos relativos.
c) (1 punto) Calcule ${\int }_1^{2}f(x)dx$.

Comparamos los dos límites laterales con el valor de la función. Por la derecha aparece una indeterminación del tipo $0\cdot \mathrm{\infty }$, que se resuelve con L'Hôpital.

${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{\ln x}{1\mathrm{/}x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}x}{-1\mathrm{/}{x}^2}}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x)=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}x=0=f(0)$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, así que es continua en el origen. Para la derivabilidad comparamos las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\text{ si }x<0;f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln x+1\text{ si }x>0$

${\lim }_{x\to 0^{+}}(\ln x+1)=-\mathrm{\infty }\mathrm{\ne }1$

La función no es derivable en $x=0$: llega con pendiente 1 por la izquierda y con pendiente infinita negativa por la derecha.





En la rama izquierda la derivada es constante y positiva, así que la función crece. En la derecha estudiamos el signo de $\ln x+1$.

$\ln x+1=0\Rightarrow \ln x=-1\Rightarrow x=e^{-1}$



$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(0,e^{-1});f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(e^{-1},+\mathrm{\infty })$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$, decrece en $(0,e^{-1})$ y vuelve a crecer en $(e^{-1},+\mathrm{\infty })$. Por tanto alcanza un máximo relativo en $x=0$, que vale 0, y un mínimo relativo en $x=e^{-1}$.

$f\left(e^{-1}\right)=e^{-1}\ln e^{-1}=-e^{-1}$



En el intervalo de integración manda la rama $x\ln x$, que se integra por partes derivando el logaritmo.

$u=\ln x\Rightarrow du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx;dv=xdx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

$\int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-\int {\displaystyle \frac{x}{2}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$

Aplicamos la regla de Barrow.

${\int }_1^{2}f(x)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}]}_1^2=(2\ln 2-1)-(0-{\displaystyle \frac{1}{4}})$

$=2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,636}$