Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Consideremos la función real de variable real $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x^2+1}}$. Se pide:

4.1.1 Hallar el dominio y estudiar la continuidad de la función $f$. (0.5 puntos)
4.1.2 Hallar las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$. (0.5 puntos)
4.1.3 Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función $f$. (1 punto)
4.1.4 Representar la función $f$. (0.5 puntos)

$\mathbf{\text{4.1.1}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función es:

$f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}$

El dominio de una función racional excluye los valores que anulan el denominador:

$x^2+1=0$

Como $x^2+1>0$ para todo $x\in \mathbb{R}$, no se anula nunca.

Por tanto:

$D(f)=\mathbb{R}$

Al ser cociente de polinomios y no anularse el denominador, $f$ es continua en todo su dominio:

$f\text{ es continua en }\mathbb{R}$

$\mathbf{\text{4.1.2}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntotas verticales: se buscan donde el denominador se anula.

Como $x^2+1\mathrm{\ne }0$, no hay asíntotas verticales.

Asíntota horizontal:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{x+1}{x^2+1}=0$

Por tanto:

$y=0$

es asíntota horizontal.

Para estudiar crecimiento y decrecimiento usamos la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(x^2+1)\cdot 1-(x+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1{)}^2}$

Como el denominador siempre es positivo, estudiamos el signo del numerador:

$-x^2-2x+1=0\Rightarrow x^2+2x-1=0$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$

Por tanto:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(-\mathrm{\infty },-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$

Luego $f$ crece en:

$(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$

y decrece en:

$(-\mathrm{\infty },-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$

$\mathbf{\text{4.1.3}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{absolutos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Los extremos relativos aparecen donde $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$:

$x_1=-1-\sqrt{2},x_2=-1+\sqrt{2}$

Como $f$ pasa de decrecer a crecer en $x_1$, hay un mínimo relativo.

Como $f$ pasa de crecer a decrecer en $x_2$, hay un máximo relativo.

Calculamos los valores:

$f(-1-\sqrt{2})=\frac{-\sqrt{2}}{(-1-\sqrt{2}{)}^2+1}=\frac{-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

$f(-1+\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{(-1+\sqrt{2}{)}^2+1}=\frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Por tanto:

$\text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }x=-1-\sqrt{2},f(x)=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

$\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }x=-1+\sqrt{2},f(x)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Como:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)=0$

y la función alcanza esos valores extremos, el mínimo relativo es también mínimo absoluto y el máximo relativo es también máximo absoluto.

$\mathbf{\text{4.1.4}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para representarla usamos:

$D(f)=\mathbb{R}$

$y=0$ es asíntota horizontal.

Corte con el eje $Y$:

$f(0)=\frac{0+1}{0^2+1}=1\Rightarrow (0,1)$

Corte con el eje $X$:

$x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow (-1,0)$

Extremos:

$\text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo absoluto en }(-1-\sqrt{2},\frac{1-\sqrt{2}}{2})$

$\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo absoluto en }(-1+\sqrt{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2})$

Con estos datos se dibuja una curva racional continua, sin asíntotas verticales, que se aproxima a $y=0$ cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$.