Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Considere la función polinómica $f(x)=3x^{13}+5x^3+2$.

a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo $[-2,0]$. Dé un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte. [1,25 puntos]
b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de $y=f(x)$. ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{D}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{0,5}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función es polinómica, luego es continua en $\mathbb{R}$ y, en particular, en el intervalo cerrado $[-2,0]$. Aplicamos el teorema de Bolzano: basta comprobar que toma valores de signo contrario en los extremos.

$f(-2)=3\cdot (-2{)}^{13}+5\cdot (-2{)}^3+2=-24576-40+2=-24614<0$

$f(0)=3\cdot 0^{13}+5\cdot 0^3+2=2>0$

Por el teorema de Bolzano existe al menos un $c\in (-2,0)$ con $f(c)=0$, es decir, la gráfica corta al eje de abscisas en ese intervalo.

Para acotar el corte en un intervalo de longitud 0,5 vamos partiendo por la mitad y quedándonos con el trozo donde cambia el signo.

$f(-1)=3\cdot (-1)+5\cdot (-1)+2=-3-5+2=-6<0\Rightarrow \text{el corte est}\acute{\text{a}}\text{ en }(-1,0)$

$f(-\mathrm{0,5})=3\cdot (-\mathrm{0,5}{)}^{13}+5\cdot (-\mathrm{0,5}{)}^3+2=-\mathrm{0,000366}-\mathrm{0,625}+2=\mathrm{1,3746}>0$

Como $f(-1)<0$ y $f(-\mathrm{0,5})>0$, el punto de corte está en el intervalo $(-1,-\mathrm{0,5})$, que tiene longitud 0,5.



Calculamos la derivada y estudiamos su signo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=39x^{12}+15x^2=3x^2(13x^{10}+5)$

$3x^2\ge 0\text{ y }13x^{10}+5>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2(13x^{10}+5)=0\Rightarrow x=0$

La derivada solo se anula en $x=0$ y es positiva en el resto, así que no cambia de signo: la función es creciente en todo $\mathbb{R}$. En $x=0$ hay tangente horizontal, pero no un extremo relativo, porque la función crece tanto a su izquierda como a su derecha.

De aquí sale la respuesta a la última pregunta. Al ser estrictamente creciente, la función es inyectiva: no puede tomar el valor 0 más de una vez. Y por el apartado a) sabemos que lo toma al menos una vez.

$f\text{ estrictamente creciente}\Rightarrow \text{a lo sumo un corte;}\text{Bolzano}\Rightarrow \text{al menos un corte.}$

La función es creciente en todo $\mathbb{R}$ y no tiene máximos ni mínimos relativos, y su gráfica corta al eje de abscisas exactamente en un punto, situado en el intervalo $(-1,-\mathrm{0,5})$.