Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x}}$, donde $a$ y $b$ son dos parámetros reales. Calcule los valores de $a$ y $b$ de manera que la función $f(x)$ tenga una asíntota oblicua de pendiente 1 y un mínimo en el punto de la gráfica de abscisa $x=2$. [2,5 puntos]

Hay dos condiciones y dos incógnitas. Empezamos separando la fracción, lo que simplifica tanto el cálculo de la asíntota como el de la derivada.

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x}}=ax+{\displaystyle \frac{b}{x}}$

El dominio es $\mathbb{R}-\{0\}$.

i) La asíntota oblicua es $y=mx+n$, con $m$ el límite del cociente $f(x)\mathrm{/}x$. El enunciado pide que esa pendiente valga 1.

$m={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}(a+{\displaystyle \frac{b}{x^2}})=a$

$a=1$

Se puede ver también directamente: como $\frac{b}{x}\to 0$, la gráfica se pega a la recta $y=ax$, que es la asíntota oblicua, y su pendiente es $a$.

ii) En un mínimo la derivada se anula.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a-{\displaystyle \frac{b}{x^2}}=1-{\displaystyle \frac{b}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow 1-{\displaystyle \frac{b}{4}}=0\Rightarrow b=4$

Falta comprobar que en $x=2$ hay realmente un mínimo y no otro tipo de extremo, para lo cual usamos la derivada segunda.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2b}{x^3}}={\displaystyle \frac{8}{x^3}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{8}{8}}=1>0$

Al ser positiva, en $x=2$ hay efectivamente un mínimo relativo.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+4}{x}}=x+{\displaystyle \frac{4}{x}},f(2)=2+2=4$

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=4$: la función es $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+4}{x}}$, que tiene la asíntota oblicua $y=x$ y un mínimo relativo en el punto $(2,4)$.