Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Consideremos la función $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:

a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función $f(x)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el valor de la integral ${\displaystyle {\int }_1^{e}f(x)dx}$. [1,25 puntos]

Al dominio le impone condiciones el logaritmo, que exige argumento estrictamente positivo; esa misma condición deja fuera el valor que anula el denominador.

$\ln x\Rightarrow x>0\Rightarrow \mathrm{Dom}f(x)=(0,+\mathrm{\infty })$

El crecimiento se estudia con el signo de la derivada, que calculamos con la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4}}={\displaystyle \frac{x-2x\ln x}{x^4}}={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-2\ln x=0\Rightarrow \ln x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=e^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{e}\approx \mathrm{1,6487}$

En todo el dominio el denominador $x^3$ es positivo, de modo que el signo de la derivada lo decide el numerador.

$1-2\ln x>0⟺\ln x<{\displaystyle \frac{1}{2}}⟺x<\sqrt{e}$



$f\left(\sqrt{e}\right)={\displaystyle \frac{\ln \sqrt{e}}{{\left(\sqrt{e}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{e}}={\displaystyle \frac{1}{2e}}\approx \mathrm{0,1839}$

La función tiene por dominio $(0,+\mathrm{\infty })$, es creciente en $(0,\sqrt{e})$ y decreciente en $(\sqrt{e},+\mathrm{\infty })$. Como pasa de creciente a decreciente, tiene un máximo relativo en $(\sqrt{e},{\displaystyle \frac{1}{2e}})$ y ningún mínimo.



El integrando es el producto de un logaritmo por una potencia, así que se integra por partes tomando como $u$ el logaritmo, que al derivar se simplifica.

$\{\begin{array}{l}u=\ln x\Rightarrow du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ dv={\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx\Rightarrow v=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$

$\int {\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}dx=-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+\int {\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx=-{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}+C=-{\displaystyle \frac{\ln x+1}{x}}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_1^e{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}dx={[-{\displaystyle \frac{\ln x+1}{x}}]}_1^e=-{\displaystyle \frac{\ln e+1}{e}}-(-{\displaystyle \frac{\ln 1+1}{1}})$

$=-{\displaystyle \frac{2}{e}}+1=1-{\displaystyle \frac{2}{e}}\approx \mathrm{0,2642}$

El valor de la integral es $1-{\displaystyle \frac{2}{e}}\approx \mathrm{0,2642}$ unidades de área.