Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{1-x^2}}$:

a) Estudie asíntotas, monotonía y puntos extremos de $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-1,1\}$

Asíntotas verticales. Las candidatas son los dos puntos excluidos del dominio, y en ambos el numerador no se anula:

${\lim }_{x\to -1^{-}}{\displaystyle \frac{x^3}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{-1}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to -1^{+}}{\displaystyle \frac{x^3}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{-1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x^3}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^3}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. El grado del numerador supera al del denominador, así que no la hay:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3}{1-x^2}}=-\mathrm{\infty }$

Asíntota oblicua $y=mx+n$. Como el numerador tiene exactamente un grado más que el denominador, sí existe:

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{1-x^2}}=-1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(f(x)+x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+x-x^3}{1-x^2}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{1-x^2}}=0$

La asíntota oblicua es $y=-x$.

Monotonía. Derivamos por la regla del cociente y simplificamos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2(1-x^2)-x^3(-2x)}{{(1-x^2)}^2}}={\displaystyle \frac{3x^2-3x^4+2x^4}{{(1-x^2)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2(3-x^2)}{{(1-x^2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2(3-x^2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-\sqrt{3}\\ x=\sqrt{3}\end{array}$

El denominador es un cuadrado, luego siempre positivo, y $x^2\ge 0$: el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ lo decide el factor $3-x^2$, que es positivo entre $-\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$.

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{3})$ y en $(\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$, y crece en el resto de su dominio.

En $x=-\sqrt{3}$ pasa de decreciente a creciente, luego hay un mínimo relativo; en $x=\sqrt{3}$ pasa de creciente a decreciente, luego hay un máximo relativo. En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, así que no hay extremo.

$f(-\sqrt{3})={\displaystyle \frac{-3\sqrt{3}}{1-3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\approx \mathrm{2,598}f\left(\sqrt{3}\right)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{1-3}}=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\approx -\mathrm{2,598}$



Solo falta el corte con los ejes, que se obtiene anulando el numerador:

$x^3=0\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$



Obsérvese que, por estar la gráfica partida en tres ramas por las asíntotas verticales, el mínimo relativo queda por encima del máximo relativo; los dos son relativos y ninguno absoluto.