Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Problema 5.
Consideramos la función $f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-4}$. Obtener:
a) El dominio y los puntos de corte con los ejes. (1 punto)
b) Las asíntotas de la función. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos. (3 puntos)
d) La primitiva de la función $f(x)$. (4 puntos)

v
$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Dom $f(x)\Rightarrow x^2-4=0x^2=4;x=\pm \sqrt{4}=\pm 2\Rightarrow \text{Dom }f(x)=\mathbb{R}$-{$-2,2$}

Puntos de corte con:

Eje $OY$, $x=0$ →$f(0)=\frac{0^2+3}{0^2-4}=\frac{3}{-4}\Rightarrow (0,-\frac{3}{4})$

Eje $OX$, f(x)=0 →$\frac{x^2+3}{x^2-4}=0;x^2+3=0;x^2=-3,\text{ sin soluci}\acute{\text{o}}\text{n.}$ $f(x)$ no corta al eje $OX$.

El dominio de $f(x)$ es $\mathbb{R}$-{$-2,2$} y sólo corta al eje $OY$ en el punto $(0,-\frac{3}{4})$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Verticales. Las posibles asíntotas verticales son $x=-2$ y $x=2$.

${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2+3}{x^2-4}=\frac{(-2{)}^2+3}{(-2{)}^2-4}=\frac{7}{0}\Rightarrow x=-2\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+3}{x^2-4}=\frac{2^2+3}{2^2-4}=\frac{7}{0}\Rightarrow x=2\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Horizontales.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x^2+3}{x^2-4}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x^2+3}{x^2-4}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{x^2}{x^2}=1$→ $y=1$ es la asíntota horizontal.

Oblicua.

Como la función es un cociente de dos polinomios del mismo grado y tiene asíntota horizontal, no tiene oblicua.

Por lo tanto, las asíntotas verticales son $x=-2$ y $x=2$ y la asíntota horizontal es $y=1$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para estudiar la mom¡notonia, se deriva e iguala a cero para obtener los posibles candidatos a máximos y mínimos:

$f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-4},f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+3)2x}{(x^2-4{)}^2}=\frac{2x^3-8x-2x^3-6x}{(x^2-4{)}^2}=\frac{-14x}{(x^2-4{)}^2}$

Estudiemos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. Obtenemos las raíces del numerador y denominador de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

$-14x=0\Rightarrow x=0$

$(x^2-4{)}^2=0\Rightarrow x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

Considerando el dominio de $f(x)=\mathbb{R}$-{$-2,2$} , debemos estudiar el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ en los siguientes intervalos,

Como el denominador de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ está elevado al cuadrado es positivo, por tanto el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sólo depende del numerador que es un polinomio de primer grado (una línea recta) con coeficiente de $x$ negativo que pasa por el 0:

Luego, $f(x)$ es creciente en$(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)$y es decreciente en$(0,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

Según muestra el siguiente esquema:


El único extremo de la función es en $x=0$ y como la función pasa de creciente a decreciente es un máximo relativo.

La función $f(x)$ sólo tiene un máximo relativo en$(0,-\frac{3}{4})$.



$\int {\displaystyle \frac{x^2+3}{x^2-4}}dx$.

Como los dos polinomios son del mismo grado efectuamos la división polinomica:,

$\frac{x^2+3}{x^2-4}=\frac{x^2-4+4+3}{x^2-4}=\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{7}{x^2-4}=1+\frac{7}{x^2-4}$

Luego, $\int \frac{x^2+3}{x^2-4}dx=\int (1+\frac{7}{x^2-4})dx=\int 1dx+\int \frac{7}{x^2-4}dx=x+\int \frac{7}{x^2-4}dx$

La integral pendiente es una integral racional,

$\frac{7}{x^2-4}=\frac{7}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

$7=A(x+2)+B(x-2)$

$x=-2\Rightarrow 7=A(-2+2)+B(-2-2)\Rightarrow 7=-4B\Rightarrow B=-\frac{7}{4}$

$x=2\Rightarrow 7=A(2+2)+B(2-2)\Rightarrow 7=4A\Rightarrow A=\frac{7}{4}$

Entonces,

$\int \frac{7}{x^2-4}dx=\int (\frac{7\mathrm{/}4}{x-2}-\frac{7\mathrm{/}4}{x+2})dx=\frac{7}{4}\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-\frac{7}{4}\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }$

Finalmente,

$\int \frac{x^2+3}{x^2-4}dx=x+\frac{7}{4}\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-\frac{7}{4}\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$