Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x-1}{x^2-1}}& \text{si }x<1,x\mathrm{\ne }-1\\ {\displaystyle \frac{x^2+1}{4x}}& \text{si }x\ge 1\end{array}$, se pide:

a) (0.5 puntos) Calcular $f(0)$ y $(f\circ f)(0)$.
b) (1.25 puntos) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x=1$ y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.
c) (0.75 puntos) Estudiar sus asíntotas.

Como $0<1$, usamos el primer trozo; conviene simplificarlo antes, porque el numerador es un factor del denominador.

${\displaystyle \frac{x-1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{0+1}}=1$

Para la composición evaluamos $f$ en el resultado anterior, y ahora $1\ge 1$, así que toca el segundo trozo.

$(f\circ f)(0)=f(1)={\displaystyle \frac{1^2+1}{4\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$



Comparamos los límites laterales con el valor de la función.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{1}{x+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}};{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^2+1}{4x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=f(1)$

La función es continua en $x=1$. Derivamos cada trozo y comparamos las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}\text{ si }x<1;f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4x^2}}\text{ si }x>1$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=-{\displaystyle \frac{1}{4}};f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=0$

No coinciden, luego $f$ no es derivable en $x=1$. Aun así puede haber extremo, y lo decide el signo de la derivada a cada lado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ si }x<1;f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{4x^2}}>0\text{ si }x>1$

La función pasa de decrecer a crecer, así que en $(1,\frac{1}{2})$ hay un mínimo relativo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}$

En el primer trozo el denominador se anula en $x=-1$, que sí pertenece a su intervalo.

${\lim }_{x\to -1}{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal por la izquierda}$

Por la derecha la función crece sin tope, así que buscamos asíntota oblicua.

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{4x^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}};n={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^2+1}{4x}}-{\displaystyle \frac{x}{4}})={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{4x}}=0$

$y={\displaystyle \frac{x}{4}}\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua por la derecha}$