Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

B.2

Se considera la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& \text{si }x<0\\ x{e}^x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$ en $x=0$.
b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ restringida a $(-\pi ,2)$. Demuestre que existe un punto $x_0\in [0,1]$ de manera que $f(x_0)=2$.
c) (0.75 puntos) Calcule ${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{1}f(x)dx$.

Comparamos los límites laterales con el valor de la función en el punto de empalme.

${\lim }_{x\to 0^{-}}\mathrm{sen}x=0;{\lim }_{x\to 0^{+}}x{e}^x=0=f(0)$

La función es continua en el origen. Para la derivabilidad acudimos a la definición y calculamos las dos derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})={\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}=1$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{x{e}^x}{x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^x=1$

Las dos coinciden, luego la función también es derivable en $x=0$.



Derivamos cada trozo y estudiamos su signo.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x\text{ si }x<0;f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x(x+1)\text{ si }x>0$

En la rama izquierda el coseno es negativo antes de $-\frac{\pi }{2}$ y positivo después; en la derecha la exponencial y el factor $x+1$ son ambos positivos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(-\pi ,-{\displaystyle \frac{\pi }{2}});f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},2)$

La función decrece en $(-\pi ,-\frac{\pi }{2})$ y crece en $(-\frac{\pi }{2},2)$, con un mínimo relativo en $x=-\frac{\pi }{2}$.



Para la segunda parte aplicamos el teorema de Bolzano a $f(x)-2$, que es continua en $[0,1]$ por serlo $f$.

$f(0)=0<2;f(1)=e=\mathrm{2,718}>2$

La función pasa de valer menos de 2 a valer más, así que existe $x_0\in [0,1]$ con $f(x_0)=2$.



El intervalo cruza el punto de empalme, así que la integral se parte en dos, una por cada trozo.

${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{1}f(x)dx={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^0\mathrm{sen}xdx+{\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$

La primera es inmediata; la segunda sale por partes derivando el polinomio.

$\int \mathrm{sen}xdx=-\cos x;\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x=e^x(x-1)$

${[-\cos x]}_{-\pi \mathrm{/}2}^0=-1-0=-1$

${[e^x(x-1)]}_0^1=0-(-1)=1$

${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{1}f(x)dx=-1+1=0$

Las dos áreas se compensan exactamente, de ahí que la integral se anule.