Hodeia · Selectividad · Matemáticas II de Comunidad Valenciana

Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Comunidad Valenciana, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Problema 1.

Dadas las matrices

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{array}]

B = [\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]

C = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array}]

. Se pide:

a) Demostrar que

C - A B^{T}

tiene inversa y calcularla. (4 puntos)

b) Calcular la matriz

X

que verifica

C X = A B^{T} X + I

, donde

I

es la matriz identidad. (3 puntos)

c) Justificar que

(A B^{T})^{n} = 2^{n} I

para todo número natural

n

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Problema 2.

Dada la matriz

A = [\begin{array}{ccc} m & 0 & m - 1 \\ - 2 m & m^{2} & 1 \\ 0 & 2 m & 1 \end{array}]

. Determinar:

a) El rango de la matriz

A

en función del parámetro real

m

. (4 puntos)
b) La matriz inversa de

A

en el caso

m = 2

. (4 puntos)
c) El número real

m

para el cual el determinante de la matriz

2 A

es igual a

- 8

. (2 puntos)

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Problema 3.
Dadas las rectas

r : {\begin{cases} x = z - 1 \\ y = 2 - 3 z \end{cases}

s : {\begin{cases} x = 4 - 5 z \\ y = 4 z - 3 \end{cases}

.
a) Indicar justificadamente la posición relativa de

r

s

. (5 puntos)
b) Hallar la ecuación de la recta

l

que pasa por el origen y corta a

r

s

. (5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Problema 4.
Dados los planos

π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0

π_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + α \\ y = 1 + α + β \\ z = α - β \end{cases}

, y la recta

r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

.
a) Calcular la posición relativa de

π_{1}

π_{2}

. (3 puntos)
b) Calcular el punto

P^{'}

que es simétrico al punto

P = (1, 0, 0)

respecto del plano

π_{1}

. (4 puntos)
c) Calcular, si existe, el punto de intersección de

π_{1}

r

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Funciones

Problema 5.
Consideramos la función

f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} - 4}

. Obtener:
a) El dominio y los puntos de corte con los ejes. (1 punto)
b) Las asíntotas de la función. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos. (3 puntos)
d) La primitiva de la función

f (x)

. (4 puntos)

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Optimización

Problema 6.
Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m de longitud.
a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor

x

que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo. (3 puntos)
b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima. (7 puntos)

Ver la solución del ejercicio 6