Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2026 (convocatoria extraordinaria)

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2.5 puntos)

Rafa y Roger son dos tenistas que se han enfrentado a lo largo de sus carreras profesionales en tres tipos de superficies: hierba, tierra batida y pista dura. El 10% de los partidos se jugaron en hierba y el 40% en tierra batida. Por otra parte, Rafa ganó el 25% de los partidos jugados en hierba, mientras que Roger ganó el 12.5% de los jugados en tierra batida y el 55% en pista dura. Se pide:

Responda a todos los apartados

1.1 Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger? (0.75 puntos)
1.2 Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura? (0.75 puntos)
1.3 Si tomamos una muestra de 10 partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado 5 o 6 partidos? (1 punto)

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Mediante un proceso de mezclado continuo en tres tanques interconectados, una planta química produce tres compuestos, X, Y, Z, ligados a unos valores reales $x$, $y$, $z$, respectivamente, llamados pseudodensidades. Las pseudodensidades en los tanques deben estar en equilibrio para mantener la concentración deseada de los productos. Los ingenieros del proceso han establecido las siguientes condiciones de equilibrio:

Tanque 1: La suma de la pseudodensidad $x$, más el triple de la pseudodensidad $y$, más la pseudodensidad $z$ ha de valer 5.
Tanque 2: La suma de $\alpha$ veces la pseudodensidad $x$, más el doble de la pseudodensidad $z$ debe anularse, donde $\alpha$ es el factor catalizador.
Tanque 3: La pseudodensidad $z$ ha de ser $\alpha$ veces la pseudodensidad $y$.

Se pide:

2.1.1 Estudiar la existencia y el número de soluciones $x,y,z$ (las posibles configuraciones de equilibrio) en función de los valores del factor catalizador $\alpha$. (1.25 puntos)
2.1.2 Cuando el factor catalizador satisface $\alpha \mathrm{\ne }-1$, el proceso alcanza estados de equilibrio factibles. En este caso, calcular, si existen, los valores $x,y,z$, en función del valor $\alpha$. (1.25 puntos)

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$ y el vector $b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, se pide:

2.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones $Ax=Bx+b$. (1 punto)
2.2.2 Hallar el valor de $\det (A^5(2B{)}^{-1})$. (0.75 puntos)
2.2.3 Calcular los valores de $\alpha$ y $\beta$, si existen, que satisfacen $\alpha A+\beta B=I$, siendo $I$ la matriz identidad. (0.75 puntos)

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Se consideran los puntos del espacio $A(0,-1,0)$ y $B(1,0,1)$, y el vector $v=(2,-1,1)$. Se pide:

3.1.1 Encontrar una ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a $v$ y pasa por $A$. (0.75 puntos)
3.1.2 Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $B$. (0.75 puntos)
3.1.3 Encontrar el punto $C$ del plano $\pi$ que está más cerca de $B$. (0.75 puntos)
3.1.4 Calcular la distancia del punto $B$ al plano $\pi$. (0.25 puntos)

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Dado el plano $\pi :2x+3y-z=0$ y los puntos $A(0,0,0)$, $B(10,0,-20)$, $C(0,15,-30)$ y $D(1,2,-1)$, se pide:

3.2.1 Estudiar si el triángulo $ABC$ está contenido en el plano $\pi$. (0.5 puntos)
3.2.2 Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A,B$ y $C$. (1.25 puntos)
3.2.3 Calcular la distancia del punto $D$ al plano $\pi$. (0.75 puntos)

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Un brote de gripe se propaga a lo largo de unos días. El coeficiente de gravedad de la gripe $t$ días después de iniciarse el brote viene dado por una función $F(t)$ cuya derivada es $F^{\mathrm{\prime }}(t)=t^2(10-t)$. Se pide:

4.1.1 Calcular la función $F(t)$ sabiendo que en $t=0$ el coeficiente de gravedad es 6. (1.25 puntos)
4.1.2 Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número. (1.25 puntos)

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Un arquitecto está diseñando un pequeño invernadero para un jardín. El suelo del invernadero tiene forma de triángulo para maximizar la eficiencia y la captación de luz. El perímetro total del invernadero está fijado en 60 metros para cumplir con las restricciones medioambientales de la zona, uno de los lados del triángulo mide $x$ metros y los otros dos lados tienen la misma longitud. Se pide:

4.2.1 Deducir la expresión de la función $A(x)$ que representa el área del suelo del invernadero. (1 punto)
4.2.2 El arquitecto define una función de eficiencia estructural, $f(x)$, que se calcula como el cuadrado del área del suelo del invernadero. Obtener el valor de $x$ para el que la eficiencia estructural es máxima y hallar el área en este caso. (1.5 puntos)