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Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Comunidad Valenciana, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Problema 1.

Se da el sistema de ecuaciones

{\begin{cases} 2 x - y + z & = m \\ x + y + 3 z & = 0 \\ 5 x - 4 y + m z & = m \end{cases}

, donde

m

es un parámetro real. Se pide:

a) La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro

m

. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando

m = 1

. (3 puntos)
c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Rectas y Planos

Problema 2.

Se dan las rectas

r : {\begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2 x - z - 1 = 0 \end{cases}

s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}

y el plano

π : x + m y + z = 2

que depende del parámetro real

m

. Obtened:

a) La posición relativa de las rectas

r

s

. (4 puntos)
b) El valor del parámetro

m

para que la recta

r

esté contenida en el plano

π

. (3 puntos)
c) Los puntos

A, B, C

intersección del plano

π

con los ejes de coordenadas cuando

m = 2

, así como el volumen del tetraedro de vértices

A, B, C

P (2, 2, 2)

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Análisis

Problema 3.

Dada la función

f (x) = x e^{1 - x^{2}}

, calculad:

a) El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. (4 puntos)
b) Las asíntotas y la gráfica de

f

. (3 puntos)
c) La integral

\int f (x) d x

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Matrices

Problema 4.

Se dan las matrices

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ - 1 & a & 1 \\ 1 & a^{2} - 2 & 3 \end{array}] y B = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}] [1 2 3]

. Obtened:

a) El rango de la matriz

A

según los valores del parámetro

a

. (3 puntos)
b) Una matriz

C

tal que

A C = 16 I

, siendo

I

la matriz identidad, cuando

a = 0

. (4 puntos)
c) El rango de la matriz

B

y la discusión de si el sistema

B [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}]

tiene solución. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Problema 5.

Dados los puntos

P (1, 1, 0)

Q (2, - 1, 1)

R (α, 3, - 1)

se pide:

a) La ecuación del plano que contiene a

P, Q y R

cuando

α = 1

y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas. (3 puntos)
b) La ecuación de la recta

r

que pasa por

R

cuando

α = 1

y es paralela a la recta

s

que pasa por

P

Q

. Calculad la distancia entre las rectas

r

s

. (4 puntos)
c) Los valores de

α

para los cuales

P, Q y R

están alineados y la ecuación de la recta que los contiene. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Optimización

Problema 6.

Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide

(4 + π)

metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:

a) Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura

y

del rectángulo. (5 puntos)
b) Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima. (5 puntos)

Figura del ejercicio

Ver la solución del ejercicio 6