Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2020 (convocatoria extraordinaria)

Problema 1.

Se da el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{ll}x+ay+2z& =3\\ x-3y+az& =-2\\ x+y+2z& =a\end{array}$, donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando $a=0$. (3 puntos)
c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)

Problema 2.

Se dan los planos $\pi :x+y=1$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-y+z=1$ y el punto $P(1,-1,0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela a los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. (3 puntos)
b) La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. (3 puntos)
c) Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. (4 puntos)

Problema 3.

Dada la función $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El dominio de definición y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la representación gráfica de la función. (3 + 1 puntos)
c) El valor de ${\int }_2^{3}f(x)dx$. (3 puntos)

Problema 4.

Sea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa. (3 puntos)
b) Dos constantes $a,b$ de modo que $A^{-1}=A^2+aA+bI$. Se puede usar (sin comprobarlo) que $A$ verifica la ecuación $A^3-3A^2+3A-I=0$ siendo $I$ la matriz identidad. (3 puntos)
c) El valor de $\lambda$ para que el sistema de ecuaciones $(A-\lambda I)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de $\lambda$ hallar todas las soluciones del sistema. (2+2 puntos)

Problema 5.

Se dan las rectas $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}\\ z=2\lambda \end{array}$, $s:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}$ y el plano $\pi :3x+ay-z+1=0$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Si hay algún valor del parámetro $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. (4 puntos)
b) La distancia entre las rectas $r$ y $s$. (3 puntos)
c) El coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta $t:\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ y-z=2\end{array}$. (3 puntos)

Problema 6.

Los vértices de un triángulo son $A(0,12)$, $B(-5,0)$ y $C(5,0)$. Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(-x,0)$, $(x,0)$, siendo $0\le x\le 5$. Los otros dos vértices están situados en los segmentos $AB$ y $AC$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La expresión $f(x)$ del área del rectángulo anterior. (4 puntos)
b) El valor de $x$ para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido. (3 puntos)
c) La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo. (3 puntos)