Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Problema 3.

Dada la función $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El dominio de definición y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la representación gráfica de la función. (3 + 1 puntos)
c) El valor de ${\int }_2^{3}f(x)dx$. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\mathbf{\text{Dominio}}\mathbf{\text{de}}f(x):$

$x^2-1>0$

$x^2-1=0;\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$\text{Como el coeficiente de }{x}^2\text{ es positivo, el signo es: }(+);(-);(+)$

$\Rightarrow \mathrm{Dom}(f)=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}$

${\lim }_{x\to -1^{-}}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}={\displaystyle \frac{-1}{0}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical por la izquierda}$

${\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}={\displaystyle \frac{1}{0}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical por la derecha}$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}=-1$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}=1$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{oblicua}}$

$\text{Como la funci}\acute{\text{o}}\text{n tiene as}\acute{\text{ı}}\text{ntotas horizontales en ambos extremos, no tiene oblicua.}$

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle \text{Dominio: }}& {\displaystyle (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })}\\ {\displaystyle \text{As}\acute{\text{ı}}\text{ntotas verticales: }}& {\displaystyle x=-1;x=1}\\ {\displaystyle \text{As}\acute{\text{ı}}\text{ntotas horizontales: }}& {\displaystyle y=-1\text{ en }-\mathrm{\infty },y=1\text{ en }+\mathrm{\infty }}\end{array}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(3+1}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-1}-x\cdot {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}}}=-{\displaystyle \frac{1}{(x^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}}}$

$\mathbf{\text{Signo}}\mathbf{\text{de}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x):$

$(x^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}>0\text{ en }\mathrm{Dom}(f)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en todo su dominio}$

$\boxed{{\displaystyle f(x)\text{ es estrictamente decreciente en }(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })}}$

$\mathbf{\text{Cortes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}$

$\text{Corte con }OY:x=0\mathrm{\notin }\mathrm{Dom}(f)\Rightarrow \text{no corta a }OY$

$\text{Corte con }OX:y=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}=0\Rightarrow x=0\mathrm{\notin }\mathrm{Dom}(f)$

$\mathbf{\text{Signo}}\mathbf{\text{de}}f(x):$$\sqrt{x^2-1}>0\text{ en todo el dominio}$

$\text{Luego, el signo de }f(x)\text{ depende s}\acute{\text{o}}\text{lo del numerador }x$ $\{\begin{array}{ll}f(x)<0,& x<0\\ f(x)>0,& x>0\end{array}$

$\mathbf{\text{Representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}$

$\text{Considerando el dominio, las as}\acute{\text{ı}}\text{ntotas y la monoton}\acute{\text{ı}}\text{a, la gr}\acute{\text{a}}\text{fica presenta dos ramas:}$ $\text{una decreciente en }(-\mathrm{\infty },-1)\text{ con as}\acute{\text{ı}}\text{ntotas }y=-1\text{ y }x=-1,$ $\text{otra decreciente en }(1,+\mathrm{\infty })\text{ con as}\acute{\text{ı}}\text{ntotas }y=1\text{ y }x=1.$











Sustitución: $t=x^2-1\Rightarrow dt=2x,dx\Rightarrow xdx=\frac{dt}{2}$

Entonces: $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t}=\sqrt{t}$

Volviendo a la variable ($x$): ${\left[\sqrt{x^2-1}\right]}_2^3=\sqrt{3^2-1}-\sqrt{2^2-1}=\sqrt{8}-\sqrt{3}$

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle {\int }_2^{3}f(x),dx=\sqrt{8}-\sqrt{3}}}}$