Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Problema 3.

Consideramos la función $f(x)=\frac{x-1}{x(x+2)}$. Obtened:

a) El dominio y las asíntotas de la función. (2 puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. (4 puntos)
c) La integral $\int f(x)dx$. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{Dom }f(x)\Rightarrow x(x+2)=0\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2=0\Rightarrow x=-2\end{array}\Rightarrow \text{Dom }f(x)=\mathbb{R}$-{$-2,0$}

Asíntotas:
Verticales
${\lim }_{x\to -2}\frac{x-1}{x(x+2)}=\frac{-3}{0}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-2\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical.}$

${\lim }_{x\to 0}\frac{x-1}{x(x+2)}=\frac{-1}{0}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=0\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical.}$

Horizontales
${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x-1}{x(x+2)}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x}{x^2+2x}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{x+2}=0\Rightarrow y=0\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal.}$

Oblicua, como la función es un cociente de dos polinomios al tener a horizontal no tiene a oblicua.

Por lo tanto,$\text{Dom }f(x)=\mathbb{R}$-{-2,0} , las asíntotas verticales son $x=-2$ y $x=0$ y la asíntota horizontal es $y=0$.


Para estudiar la monotonía de esta función, usaremos la siguiente expresión de ella:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x-1}{(x+2{)}^2}-\frac{x(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{x-1}{(x+2{)}^2}-\frac{x^2-x}{(x+2{)}^2}$=$\frac{(x^2+2x)-(x-1)(2x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+2x-(2x^2+2x-2x-2)}{(x+2{)}^2}=\frac{-x^2+2x+2}{(x+2{)}^2}$

Como el denominador está elevado al cuadrado es positivo, luego el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sólo depende del numerador. Obtengamos las raíces del numerador:

$-x^2+2x+2=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(-1)\cdot 2}}{2(-1)}=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{-2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{-2}=1\mp \sqrt{3}$

$x_1=1-\sqrt{3}\approx -0.7321x_2=1+\sqrt{3}\approx 2.7321$

Como $-x^2+2x+2$ es un polinomio de segundo grado con las raíces obtenidas y coeficiente de $x^2$ negativo, su signo gráficamente es:

Añadiendo los valores que no son del dominio de $f(x)$:


Por tanto, $f(x)$ es creciente en$(-\sqrt{3},0)\cup (0,1+\sqrt{3})$ y decreciente en$(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,1-\sqrt{3})\cup (1+\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$.

${\displaystyle \int \frac{x-1}{x(x+2)}dx}$

Es una integral racional.

$\frac{x-1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}\Rightarrow x-1=A(x+2)+Bx$

Para $x=-2$:

$-2-1=A(-2+2)+B(-2)\Rightarrow -3=-2B\Rightarrow B=\frac{3}{2}$

Para $x=0$:

$0-1=A(0+2)+B\cdot 0\Rightarrow -1=2A\Rightarrow A=-\frac{1}{2}$

Entonces,

$\int \frac{x-1}{x(x+2)}dx=\int (-\frac{1}{2x}+\frac{3}{2(x+2)})dx=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{2}\int \frac{1}{x+2}dx$$=-\frac{1}{2}\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\frac{3}{2}\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$

Solución: $\int \frac{x-1}{x(x+2)}dx=-\frac{1}{2}\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\frac{3}{2}\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$