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Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Comunidad Valenciana, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Problema 1.

Dado el sistema de ecuaciones:

{\begin{cases} x + y + (a + 1) z = 2 \\ x + (a - 1) y + 2 z = 1 \\ 2 x + a y + z = - 1 \end{cases}

a) Estudiadlo en función de los valores del parámetro real

a

. (5 puntos)
b) Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible. (5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Rectas y Planos

Problema 2.

Se dan los planos

π_{1} : x + y + z = a - 1, π_{2} : 2 x + y + a z = a y π_{3} : x + a y + z = 1

.

a) Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro

a

. (4 puntos)
b) Para

a = 1

, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos

π_{1} y π_{3}

. (3 puntos)
c) Para

a = 2

, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos

π_{1} y π_{2}

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Funciones

Problema 3.

Consideramos la función

f (x) = \frac{x - 1}{x (x + 2)}

. Obtened:

a) El dominio y las asíntotas de la función. (2 puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f (x)

. (4 puntos)
c) La integral

\int f (x) d x

. (4 puntos)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Matrices

Problema 4.

Dada la matriz

A = [\begin{array}{ccc} - 1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^{2} + 1 \end{array}]

, se pide:

a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro

m

. (4 puntos)
b) Explicad cuándo la matriz

A

es invertible. (2 puntos)
c) Resolved la ecuación

X A = I

donde

I

es la matriz identidad en el caso

m = 1

. (4 puntos)

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Problema 5.

Dados el punto

P (1, 2, 3)

y el plano

π \equiv 3 x + 2 y + z + 4 = 0

, se pide:

a) Calculad la distancia del punto

P

al plano

π

. (2 puntos)
b) Calculad el punto

P^{'}

que es simétrico del punto

P

respecto del plano

π

. (5 puntos)
c) Calculad la ecuación del plano

π^{'}

que pasa por

P^{'}

y es paralelo a

π

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Optimización

Problema 6.

Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular

R

, uno de cuyos vértices es el punto

(x, y)

(véase la figura).

a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de

x

, cuando

0 \leq x \leq 32

. (4 puntos)
b) Calculad las dimensiones que tendrá

R

para que su área sea máxima. (4 puntos)
c) Calculad el valor de dicha área máxima. (2 puntos)
Figura del ejercicio

Ver la solución del ejercicio 6