Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Problema 1.

Dado el sistema de ecuaciones: $\{\begin{array}{l}x+y+(a+1)z=2\\ x+(a-1)y+2z=1\\ 2x+ay+z=-1\end{array}$

a) Estudiadlo en función de los valores del parámetro real $a$. (5 puntos)
b) Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible. (5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudiadlo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{real}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La matriz de coeficientes asociada al sistema es $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a+1\\ 1& a-1& 2\\ 2& a& 1\end{array}\right)$

La matriz ampliada de este sistema es: $A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& a+1& 2\\ 1& a-1& 2& 1\\ 2& a& 1& -1\end{array}\right)$

A es una matriz $3\times 3$, por tanto el máximo rango de A es 3.
$A^{\mathrm{\prime }}$ es una matriz $3\times 4$, por tanto el máximo rango de $A^{\mathrm{\prime }}$ es 3.

Empezamos estudiando el rango de A.
$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& a+1\\ 1& a-1& 2\\ 2& a& -1\end{array}\mid =a-1+a(a-1)+4-(a+1)(a-1)-2a-1$$=a-1+a^2-a+4-2(a^2-1)-2a-1$$=a^2+2-2a+2-a^2$$=4-a^2$

$4-a^2=0\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=\pm \sqrt{4}=\pm 2$ Soluciones: $a=-2\text{ y }a=2$.

Para $a\mathrm{\ne }-2\text{ y }2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3,\text{y como el m}\acute{\text{a}}\text{ximo rango de }{A}^{\mathrm{\prime }}\text{ es }3\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=3=n^{\circ }\text{ inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas},$

por lo que el sistema es compatible y determinado.

Para $a=-2$,

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 2\\ 1& -3& 2& 1\\ 2& -2& 1& -1\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiemos los rangos de $A$ y $A^{\mathrm{\prime }}$.

En $A\Rightarrow \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -3\end{array}\mid =-3-1=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En $A^{\mathrm{\prime }}$, a partir del menor de orden dos no nulo anterior formamos:$\Rightarrow \mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -3& 2\\ 2& -2& -1\end{array}\mid =-3-4+2+12+4+1=18\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=3$

Por lo tanto, $\mathrm{ran}(A)\mathrm{\ne }\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})$, luego el sistema es incompatible.

Para $a=2$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiemos los rangos de $A$ y $A^{\mathrm{\prime }}$.

En $A\Rightarrow \mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\mid =1-4=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2\text{y}\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})\ge 2$

En $A^{\mathrm{\prime }}$, a partir del menor de orden dos no nulo anterior formamos:$\Rightarrow \mid \begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =--2+2+6-8-1+3=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=2$

Luego, $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=2<n^{\circ }\text{ inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$, luego el sistema es compatible indeterminado.

Por tanto,

Si $a=-2$, Sistema incompatible

Si $a=2$, Sistema compatible indeterminado

Si $a\mathrm{\ne }-2\text{ y }2$, Sistema compatible determinado

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encontrad}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{cuando}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ste}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{compatible.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Si $a\mathrm{\ne }-2\text{ y }2$, Sistema compatible determinado

Lo resolvemos por Cramer.

Sabemos que la matriz ampliada de este sistema es:

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& a+1& 2\\ 1& a-1& 2& 1\\ 2& a& 1& -1\end{array}\right)$

y $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4-a^2$.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}2& 1& a+1\\ 1& a-1& 2\\ -1& a& 1\end{array}\mid }{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& a+1\\ 1& a-1& 2\\ 2& a& 1\end{array}\mid }}={\displaystyle \frac{2a-2-2+a^2+a+a^2-1-1-4a}{-a^2+4}}={\displaystyle \frac{2a^2-a-6}{-a^2+4}}={\displaystyle \frac{(a-2)(2a+3)}{(a-2)(-a-2)}}={\displaystyle \frac{2a+3}{-a-2}}$

$y=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 2& a+1\\ 1& 1& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\mid }{4-a^2}=\frac{1-(a+1)+8-2(a+1)+2-2}{4-a^2}=\frac{9-3(a+1)}{4-a^2}=\frac{9-3a-3}{4-a^2}=\frac{6-3a}{4-a^2}=\frac{3(2-a)}{4-a^2}=\frac{3(a-2)}{a^2-4}=\frac{3}{a+2}$

$z=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 2& a+1\\ 1& 1& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\mid }{4-a^2}=\frac{-a+1+2a+2-4(a-1)-a+1}{4-a^2}=\frac{4-4a+4}{4-a^2}=\frac{8-4a}{4-a^2}=\frac{4(2-a)}{4-a^2}=\frac{4(a-2)}{a^2-4}=\frac{4}{a+2}$

(La simplificación efectuada en el cálculo de $x$ y $z$ se puede realizar porque $a\mathrm{\ne }2\Rightarrow a-2\mathrm{\ne }0$)

Si $a\mathrm{\ne }-2\text{ y }2$, la solución es:

$x=-\frac{2a+3}{a+2},y=\frac{3}{a+2},z=\frac{4}{a+2}$

Si $a=2$, Sistema Compatible Indeterminado

Del estudio realizado en el apartado a), el menor no nulo de orden $2$ calculado nos indica las ecuaciones e incógnitas principales, en este caso 1ª y 2ª ecuaciones e $y,z$ como incógnitas.

El sistema a resolver es: $\{\begin{array}{l}y+3z=2-x\\ y+z=1-x\end{array}$

$y=\frac{\mid \begin{array}{cc}2-x& 3\\ 1-x& 1\end{array}\mid }{-1}=\frac{4-2x-3+3x}{-1}=\frac{1+x}{-1}=-1-x$

$z=\frac{\mid \begin{array}{cc}1& 2-x\\ 1& 1-x\end{array}\mid }{-1}=\frac{1-x-2+x}{-1}=\frac{-1}{-1}=1$

Solución: $\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-1-\lambda \\ z=1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$