Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{rcl}x+ay+z& =& a+1\\ -ax+y-z& =& 2a\\ -y+z& =& a\end{array}$


Se pide:
a) (2 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores de $a$.
b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para $a=0$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& 1\\ -a& 1& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =a^2+a=a(a+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0\text{ o }a=-1$

Para el resto de valores los dos rangos valen 3, que es el número de incógnitas.

$a\mathrm{\ne }0\text{ y }a\mathrm{\ne }-1\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3\Rightarrow \text{compatible determinado}$

Estudiamos los dos valores singulares. Con $a=0$ la segunda y la tercera ecuación son la misma salvo el signo, y también lo son sus términos independientes.

$a=0\Rightarrow A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

Con $a=-1$ el rango de la matriz de coeficientes sigue siendo 2, pero al añadir los términos independientes sube a 3.

$a=-1\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })$

El sistema es compatible determinado salvo en dos casos: compatible indeterminado si $a=0$ e incompatible si $a=-1$.



Es el caso indeterminado, así que nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y tomamos $z$ como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x+z=1\\ y-z=0\end{array}\Rightarrow x=1-z,y=z$

$(x,y,z)=(1-t,t,t),t\in \mathbb{R}$