Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

[2,5] Taylor Swift tiene un total de 435 millones de seguidores en las tres siguientes redes sociales: Instagram, X (antiguo Twitter) y YouTube. Si ganara en Instagram tantos seguidores como la mitad de los que tiene en YouTube, el número de sus seguidores en Instagram sería el doble de la suma de los que tiene en X y en YouTube.

Además, si Taylor recibiera cada mes 10 dólares por cada millón de seguidores en Instagram, 20 dólares por cada millón de seguidores en X y 30 dólares por cada millón de seguidores en YouTube, tendría unos ingresos mensuales de 6.500 millones.

Calcule cuántos seguidores tiene Taylor Swift en cada una de estas redes sociales.

$\mathbf{\text{Cuesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[2,5]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{seguidores}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{Taylor}}\mathbf{\text{Swift}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{redes}}\mathbf{\text{sociales.}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los millones de seguidores en Instagram, X y YouTube, y traducimos las tres condiciones del enunciado.

$x+y+z=435$

$x+{\displaystyle \frac{z}{2}}=2(y+z)\Rightarrow 2x-4y-3z=0$

$10x+20y+30z=6500\Rightarrow x+2y+3z=650$

$\{\begin{array}{l}x+y+z=435\\ 2x-4y-3z=0\\ x+2y+3z=650\end{array}$

Comprobamos que la solución es única con el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -4& -3\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =(-6)-(9)+(8)=-7\mathrm{\ne }0$

El sistema es compatible determinado y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{1}{-7}}\mid \begin{array}{ccc}435& 1& 1\\ 0& -4& -3\\ 650& 2& 3\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-1960}{-7}}=280$

$y={\displaystyle \frac{1}{-7}}\mid \begin{array}{ccc}1& 435& 1\\ 2& 0& -3\\ 1& 650& 3\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-665}{-7}}=95$

$z={\displaystyle \frac{1}{-7}}\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 435\\ 2& -4& 0\\ 1& 2& 650\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-420}{-7}}=60$

Comprobamos la segunda condición, que es la que más se ha manipulado: $280+30=310=2(95+60)$.

Taylor Swift tiene 280 millones de seguidores en Instagram, 95 millones en X y 60 millones en YouTube.