Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1A.

Daniel quiere contratar a los músicos Darío, Hugo y José. El sueldo de Darío es el de Hugo multiplicado por un parámetro $m>0$. El sueldo de Hugo es el doble del de José. La suma del sueldo de José multiplicado por $m$ más el sueldo de Darío (sin multiplicar por $m$) más el sueldo de Hugo (sin multiplicar por $m$) es 600 €.

a) [0,75] Denotando por $x$ el sueldo de Darío, por $y$ el sueldo de Hugo y por $z$ el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.
b) [0,25] Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de $m$).
c) [1,5] Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de $m$), y lo que cobra cada uno para $m=2$.

Llamamos $x$ al sueldo de Darío, $y$ al de Hugo y $z$ al de José, todos en euros.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Denotando}}\mathbf{\text{por}}\mathit{x}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sueldo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Dar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{por}}\mathit{y}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sueldo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Hugo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathit{z}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sueldo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Jos}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ejercicio.}}$

Traducimos a una ecuación cada una de las tres frases del enunciado.

$x=my$

$y=2z$

$mz+x+y=600$

Pasando las incógnitas al primer miembro, el sistema queda:

$\{\begin{array}{l}x-my=0\\ y-2z=0\\ x+y+mz=600\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,25]}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{conocer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sueldo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{(que}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{depender}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{).}}$

Conocer el sueldo de cada músico equivale a que el sistema sea compatible determinado, y para eso basta con que el determinante de la matriz de coeficientes no se anule.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -m& 0\\ 0& 1& -2\\ 1& 1& m\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& -2\\ 1& m\end{array}\mid +1\cdot \mid \begin{array}{cc}-m& 0\\ 1& -2\end{array}\mid$

$=(m+2)+2m=3m+2$

Como el enunciado impone $m>0$, se tiene $3m+2>2>0$ y por tanto $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$.

Por el teorema de Rouché-Frobenius, $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$, así que el sistema tiene solución única para todo $m>0$: los tres sueldos quedan determinados y dependerán del parámetro.



Resolvemos por sustitución, que aquí es más corto que Cramer: las dos primeras ecuaciones dan $x$ e $y$ en función de $z$.

$y=2z,x=my=2mz$

Llevamos ambas a la tercera ecuación:

$mz+2mz+2z=600\Rightarrow (3m+2)z=600$

$z={\displaystyle \frac{600}{3m+2}}$

Y deshaciendo las sustituciones:

$y={\displaystyle \frac{1200}{3m+2}},x={\displaystyle \frac{1200m}{3m+2}}$

Para $m=2$ el denominador vale $3\cdot 2+2=8$:

$x={\displaystyle \frac{2400}{8}}=300,y={\displaystyle \frac{1200}{8}}=150,z={\displaystyle \frac{600}{8}}=75$

Comprobamos en la tercera ecuación: $2\cdot 75+300+150=600$.

Los sueldos son ${\displaystyle \frac{1200m}{3m+2}}$ euros para Darío, ${\displaystyle \frac{1200}{3m+2}}$ para Hugo y ${\displaystyle \frac{600}{3m+2}}$ para José. En particular, si $m=2$, Darío cobra 300 €, Hugo 150 € y José 75 €.