Examen de Matemáticas II de Región de Murcia 2025 (convocatoria ordinaria)

Cuestión 1A.

Daniel quiere contratar a los músicos Darío, Hugo y José. El sueldo de Darío es el de Hugo multiplicado por un parámetro $m>0$. El sueldo de Hugo es el doble del de José. La suma del sueldo de José multiplicado por $m$ más el sueldo de Darío (sin multiplicar por $m$) más el sueldo de Hugo (sin multiplicar por $m$) es 600 €.

a) [0,75] Denotando por $x$ el sueldo de Darío, por $y$ el sueldo de Hugo y por $z$ el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.
b) [0,25] Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de $m$).
c) [1,5] Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de $m$), y lo que cobra cada uno para $m=2$.

Cuestión 1B.

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 5& 0\end{array}\right)$.

a) [1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.
b) [1,25] Resuelva la ecuación $A^{t}XB=C$, donde $A^t$ es la transpuesta de $A$.

Cuestión 2A.

Considere un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ cuya hipotenusa mide $7\sqrt{2}$ cm.

a) [0,5] Demuestre que su área viene dada por la expresión $f(x)=\frac{1}{2}x\sqrt{98-x^2}$.
b) [2] Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

Cuestión 2B.

Considere la función $f(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$.

a) [1,5] Calcule la integral indefinida $\int f(x)dx$.
b) [1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX entre los valores $x=1$ y $x=2$ es $\ln \left(\frac{27}{16}\right)$.

Cuestión 3A.

Considere las rectas $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5+\lambda \\ z=\lambda \end{array}$ y $s:\{\begin{array}{l}x=7+3\mu \\ y=-5+\mu \\ z=7\end{array}$.

a) [0,5] Compruebe que se cruzan.
b) [1,5] Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.
c) [0,5] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.

Cuestión 3B.

Considere los planos ${\pi }_1:x-y+z=0$ y ${\pi }_2:x+y-z=2$.

a) [1] Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$.
b) [0,75] Halle la ecuación de la recta que pasa por $P(1,2,3)$ y no corta ni a ${\pi }_1$ ni a ${\pi }_2$.
c) [0,75] Calcule la proyección ortogonal de $P$ en ${\pi }_1$.

Cuestión 4A.

Considere dos urnas, $U_1$ y $U_2$, tales que en $U_1$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_1$, depositarla en $U_2$ y, a continuación, sacar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

a) [0,5] Salga una bola roja en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
b) [0,5] Salga una bola verde en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
c) [0,75] Salga una bola verde en $U_2$.
d) [0,75] Haya salido roja en $U_1$ sabiendo que ha salido roja en $U_2$.

Cuestión 4B.

El 2 % de las piezas fabricadas por una máquina son defectuosas.

a) [1] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 10 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 1 pieza defectuosa.
b) [1,5] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 2000 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de 50 piezas defectuosas.