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Examen de Matemáticas II de Región de Murcia 2025 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Región de Murcia, convocatoria extraordinaria de 2025. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Cuestión 1A.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2 x + 2 y + k z = 2 \\ x + k y + 3 z = 0 \end{cases}

a) [1] Discuta el sistema en función del parámetro

k

.
b) [0,5] Calcule su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.
c) [1] Calcule su solución (expresada en función de

k

) para cualquier valor de

k

para el que el sistema sea compatible determinado.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Cuestión 1B.

Sea

A

una matriz cuadrada de orden 3 que cumple que

A^{2} = O

, donde

O

es la matriz nula de orden 3 (todos sus elementos son cero).

a) [0,75] Demuestre que

(A + I)^{2} = 2 A + I

, y que

(A + I)^{3} = 3 A + I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.
b) [0,75] Demuestre que la matriz

I - A

es inversa de la matriz

I + A

.
c) [1] Resuelva la ecuación matricial

X + A X = A

expresando

X

en función de

A

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Límites y continuidad

Cuestión 2A.

Calcule los siguientes límites:

a) [1 punto]

\lim_{x \to 0^{+}} (\frac{1}{x} - \frac{1}{sen (x)})

b) [0,5 puntos]

\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{9 x^{2} + 5}

c) [1 punto]

\lim_{x \to + \infty} x (e^{1 / x} - 1)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Cuestión 2B.

Considere la función

f (x) = {tg}^{3} (x)

.

a) [1,5] Calcule la integral indefinida

\int f (x) d x

.
b) [0,75] Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función

f (x)

y el eje OX entre los valores

x = 0

x = \frac{π}{4}

.
c) [0,25] Demuestre, sin usar números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a

\frac{1}{2} \ln (\frac{e}{2})

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Cuestión 3A.

a) [1,25] Determine el valor de

a

b

para que el plano

π : 2 x + y + a z = b

contenga a la recta

r : {\begin{cases} x + y + z = 1 \\ - x - 2 y + z = 0 \end{cases}

.
b) [1,25] ¿Para qué valores de

a

b

corta

r

π

? Halle el punto de corte en el caso

a = 0

b = 7

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Cuestión 3B.

Un helicóptero situado en el punto

P (1, 2, 1)

quiere aterrizar en el plano

π : x + y + 3 z = 0

.

a) [1] Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a

π

.
b) [0,75] Halle dicho punto.
c) [0,75] Calcule la distancia que debe recorrer.

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

Cuestión 4A.

En un cine hay tres salas. En la sala

S_{1}

hay 240 espectadores, en la sala

S_{2}

hay 180 y en la sala

S_{3}

hay 80. Se sabe que la película de la sala

S_{1}

gusta al 40 % de los espectadores, la de la sala

S_{2}

al 50 % y la de la sala

S_{3}

al 90 %. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.

a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.
b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala

S_{3}

.
c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala

S_{3}

si le ha gustado.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución binomial

Cuestión 4B.

Un avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea ha vendido para un día 280 billetes. La compañía sabe que el 95 % de los que compran un billete se presenta en el aeropuerto el día correspondiente. Consideramos el número de pasajeros que se presentan en el día en el que se vendieron los 280 billetes.

a) [0,5] Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.
b) [0,75] Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.
c) [0,5] Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.
d) [0,75] Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.

Ver la solución del ejercicio 8